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Beitrag |
    
FH
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 14:01: | 
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Welche Parabel 2. Ordnung berührt die Sinuskurve y=sin(x) in O(0|0) und A(pi|0)?
Liegt der Scheitel der Parabel oberhalb oder unterhalb der Sinuskurve?
Danke für die Beantwortung |
Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 228
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 15:16: |
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Hi,
Die Parabel muß die gleichen Nullstellen haben wie sin(x) (0 und p)
Das erfüllt schonmal
x(x-p)
Die Steigungen an den Nullstellen müssen übereinstimmen.
(sin(x))'=cos(x), mit den Werten 1 bei x=0 und -1 bei x=p
(a*x*(x-p))'=a*(x-p)+ax
=a(x-p+x)=-a*p
gleich 1 setzen =>a=-1/p
gleich -1 setzen =>a=1/p
Parabel muß aber nach unten geöffnet sein, also kommt nur a=-1/p in Frage.
Also f(x)=(-1/p)*x*(x-p)
Ich habe mir das von MuPad mal zeichnen lassen, könnte hinhauen. ich übernehme allerdings keine Garantie, daß ich das hier richtig gelöst habe. Ich habe einfach nur was rumprobiert, und das Ergebnis sah ganz brauchbar aus.Ich habe die Funktion auch mal abgeleitet und erhalte die richtigen Steigungen bei 0 und p.
Gruß, Thomas
(Beitrag nachträglich am 23., September. 2002 von johnnie_walker editiert) |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 98
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 15:24: |
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Hi FH,
g(x)=sin(x)
g'(x)=cos(x)
f(x)=ax^2+bx+c
f'(x)=2ax+b
1. "berührt in (0/0) die sinuskurve" =>
f(0)=g(0) <=> c=0
f'(0)=g'(0) <=> b=1
2."berührt in (pi/0) die sinuskurve" =>
f(pi)=g(pi) <=> api^2+pi=0 => a=-1/pi
f'(pi)=g'(pi) <=> -2/pi*pi+1=-1 (wahr)
Die Parabel hat die Gleichung:
f(x)=(-1/pi)x^2+x
Gruß
Peter |
Archimedes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 15:48: |
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Hi FH!
Der Ansatz für eine Parabel zweiter Ordnung heißt:
f(x)=ax²+bx+c
f'(x)=2ax+b
Sollen zwei Funktionen sich berühren, so müssen
beide Funktionen in den betreffenden Punkten
sowohl den gleichen Funktionswert, als auch den gleichen Wert in der 1. Ableitung besitzen.
Also:
1.
f(0)=y(0)
f'(0)=y'(0)
2.
f(pi)=y(pi)
f'(pi)=y'(pi)
Wir setzen den ersten Punkt in die Funktionen ein:
I a*0²+b*0+c=sin(0)=0 ==> c=0
II 2a*0+b=cos(0)=1 ==> b=1
Zweiter Punkt, c=0 und b=1 gleich mitverwendet:
I a*pi²+pi=sin(pi)=0
==> a*pi²+pi=0 ==> a*pi=-1 ==> a=-1/pi
Damit haben wir die Parabelgleichung:
f(x)=(-1/pi)*x²+x
Um den Scheitel der Pyramide herauszufinden
berechnen wir ihren Extrempunkt:
f'(x)=(-2/pi)*x+1
Null setzen:
(-2/pi)*x+1=0
1=(2/pi)*x
x=pi/2
Der Scheitel liegt also bei x=pi/2
f(pi/2)=(-1/pi)*(pi/2)²+(pi/2)
=(-pi/4)+(pi/2)=pi/4
pi/4 ist kleiner als 1 (Hochpunkt der Sinuskurve),
also liegt die parabel unterhalb der Sinuskurve.
Zum besseren Verständnis kannst du dir die beiden Funktionen ja mal vom Computer zeichnen lassen.
Ciao, Archimedes
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