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McFritz (mcfritz)
Neues Mitglied
Benutzername: mcfritz
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 20:17: | 
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Aufgabe: (LS Analytische Geometrie LK S.145 Nr.6)
"Bestimme eine Gleichung der Ebene durch A(2/3/4) und B(6/5/16), welche vom Ursprung den Abstand 2 hat."
Wie kann man das lösen?? Danke für eure Hilfe. 
Grüße, Michael |
thuriferar783 (thuriferar783)
Mitglied
Benutzername: thuriferar783
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 22:04: |
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Es gibt zwei Lösungen (laut Lösungsbuch ;-):
E: 2x+2y-z = 6
E: -6x+18y-z = 38
Du kommst darauf durch Anwenden der Normalenform und der HNF...
Gruß, Oli P.
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mythos2002 (mythos2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 67
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 23:04: |
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Hallo,
die Gleichung der Ebene lautet (Normalform):
ax + by + cz = d, da diese NICHT durch den Ursprung geht, kann man durch d <> 0 dividieren:
(a/d)*x + (b/d)*y + (c/d)*z = 1, setze
a/d = n1, b/d = n2 und c/d = n3, somit wird die Gleichung zu:
n1*x + n2*y + n3*z = 1 (d. i. identisch der Abschnittsform)
Für die 3 Unbekannten n1, n2, n3 erstellen wir folgende Beziehungen:
1.: Abstand der Ebene von O(0;0;0) = 2
2.: A liegt in der Ebene
3.: B liegt in der Ebene
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Für den Abstand eines Punktes sind in die auf 0 gebrachte Hesse'sche Normalform statt x, y, z die Koordinaten des Punktes einzusetzen, somit ist
(n1*x + n2*y + n3*z - 1)/sqrt(n1² + n2² + n3²) = 0 .. HNF
(- 1)/sqrt(n1² + n2² + n3²) = 2
- 1 = 2 * sqrt(n1² + n2² + n3²)
-->
1.: 1 = 4*n1² + 4*n2² + 4*n3²
2.: 1 = 2*n1 + 3*n2 + 4*n3
3.: 1 = 6*n1 + 5*n2 + 16*n3
---------------------------------
4*(2.)-(3.): 3 = 2*n1 + 7n2 -> Gl. 2a): n1 = (3 - 7*n2)/2;
dieses n1 noch in 2. einsetzen: -> Gl. 3a): n3 = (-1 + 2n2)/2;
beides in 1. einsetzen -> quadr. Gl. in n2
1 = 9 - 42*n2 + 49*n2² + 4*n2² + 1 - 4*n2 + 4*n2²
57*n2² - 46*n2 + 9 = 0
...
n2(1) = 9/19; -> Gl. 2a): n1(1) = -3/19; Gl. 3a): -> n3(1) = -1/38
n2(2) = 1/3; -> Gl. 2a): n1(2) = 1/3; -> Gl. 3a): n3(2) = -1/6
Nach Einsetzen und Multiplizieren mit dem gemeinsamen Nenner erhalten wir nun die beiden möglichen Ebenen:
-6x + 18y - z = 38 .. E1
2x + 2y - z = 6 .. E2
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Geometrisch sind dies jene zwei Ebenen, die durch die Gerade AB gehen und Tangentialebenen an eine Kugel mit dem Radius 2 und dem Mittelpunkt im Ursprung sind!
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 23., September. 2002 von mythos2002 editiert) |
McFritz (mcfritz)
Neues Mitglied
Benutzername: mcfritz
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 20:35: |
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Hi,
vielen, vielen Dank!! Das hat mich um einiges weitergebracht! Danke für die komplette Lösung!! 
Viele Grüße
Michael |
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