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E.T. (hellmann)
Neues Mitglied
Benutzername: hellmann
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 12:55: | 
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Hallo, kann mir jemand die Aufgabe lösen?
Aufgabe: Die drei Wochenzeitschriften Z1, Z2 und Z3 beherrschen den Zeitschriftenmarkt einer Kleinstadt. Langjährige Beobachtungen haben ergeben, dass die Hälfte der Leser aller drei Zeitschriften Stammleser sind und bei ihrer Zeitung bleiben.
30% der Leser der Wochenzeitung Z1 wechseln zu Z2, 20 % der Leser von Z2 wechseln zu Z1, 40 % der Leser von Z3 wechseln zu Z2.
a) Erstelle die Übergangsmatrix
b) Eine Aktuelle Markterhebung hat ergeben, dass sich die drei Zeitschriften den Markt im Verhältnis 1:1:3 aufteilen. Berechne die Marktanteile der drei Zeitschriften nach 2 und nach 4 Wochen.
Lässt sich daraus eine Vermutung für eine langfristige Verteilung xs gewinnen?
Bestätige deine Vermutung durch die Berechnung von Axs = xs
Danke für die Hilfe schonmal im voraus!
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Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 225
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 13:51: |
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Hi ET,
Es handelt sich um eine lineare Abbildung IR3->IR3
Ich verstehe die Aufgabe so : nur 50 % bleiben bei der jeweiligen Zeitung, der Rest wechselt jede Woche. Es ergeben sich folgende Abbildungen :
Z1->Z2 : 30 %
Z1->Z3 : 20 %
Z2->Z1 : 20 %
Z2->Z3 : 30 %
Z3->Z1 : 10 %
Z3->Z2 : 40 %
Ergibt folgende Matrix :
A =
0,5 0,2 0,1
0,3 0,5 0,4
0,2 0,3 0,5
(Mach Dir das klar, indem Du das Gleichungssystem aufstellst)
Du gehst aus von der Verteilung 1:1:3, also musst Du für die 1. Woche die Abbildungsmatrix mit dem Vektor v0=(1;1;3) multiplizieren und erhälst v1=(1;2;2)
Nach einer Woche besteht also das Verhältnis 1:2:2.
Die Werte nach der zweiten Woche kannst Du auf zwei Arten berechnen, da die Matrizenmultiplikation assoziativ ist :
1) A2*v0 (also ((A*A)*v0)
2) A*v1 (also (A*(A*v0)
Als Beispiel Methode 1 (obwohl Methode 2 schneller sein sollte)
Für A2 ergibt sich
0,33 0,23 0,18
0,38 0,43 0,43
0,29 0,34 0,39
jetzt mit v0 multiplizieren
Nach zwei Wochen ergibt sich v2=(1,1;2,1;1,8)
Analog musst Du für 4 Wochen vorgehen, also A4*v0 oder A*v3 (also erst v3 berechnen)
Dann solltest Du auch eine Vermutung gewinnen können.
Gruß, Thomas |
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