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Beitrag |
    
Alex (imon)
Junior Mitglied
Benutzername: imon
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 17:38: | 
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Hi Mathe-Freaks,
Gegeben sei ein Dreieck durch A(-2|2|1) B(-4|-1|-5) C(-2|5|5). Berechne den Flächeninhalt und daraus die Höhen h(auf B) und h (auf C)
Ich hab im moment überhaupt keine Ahnung, wie das gehen soll und würde mich wahnsinnig darüber freuen, wenn einer mir das mal erklären könnte 
Thx Alex |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 452
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 18:46: |
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find jemand einfacheren Weg!
bis dahin:
für die Seitenlängen gilt ( für den Abstand d zwischen ( x,y,z) und (X,Y,Z) gilt d² = (x-X)²+(y-Y)²+(z-Z)² )
a² = 2²+6²+10², b² = 0²+3²+4², c² = 2²+3²+6²
daraus dann nach der Heronschen Flächenformel die Fläche,
und
aus dieser die Höhen berechnen .
(Heronsche Fl.f.:
s = (a+b+c)/2,
A² = s(s-a)(s-b)(s-c)
) |
Alex (imon)
Junior Mitglied
Benutzername: imon
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 19:58: |
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mhh, also wir nehmen im moment das Vektorprodukt durch, kann es sein, dass es auch damit geht?!
Thx alex |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 453
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 20:06: |
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ja, dann ist's wohl das halbe(sein Betrag; der Betrag des ganzen ist die aufgespannte Parallelogramflache). Aber ob's dann für due Höhen ohne Seitenlängen geht bezweifle ich.
(Beitrag nachträglich am 21., September. 2002 von friedrichlaher editiert) |
mythos2002 (mythos2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 21:39: |
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Hi,
die Fläche des von zwei Vektoren a und b in R3 (!) aufgespannten Parallelogrammes ist gleich dem Betrag des Vektorproduktes (a x b) (sh. auch http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?9308/128008). Die Fläche des Dreieckes ist demnach halb so groß.
Es gibt aber auch eine Beziehung, mit deren Hilfe die Fläche direkt angegeben werden kann:
A(Dreieck) = (1/2) * sqrt[|a|²*|b|² - (a.b)²];
===============================================
[a.b ist das skalare Produkt der Vektoren a, b]
In diesem Beispiel ist: a = BA = (2;3;6), b = AC = (0;3;4)
|a| = 7, |b| = 5; a.b = 9 + 24 = 33
A = (1/2) * sqrt(49*25 - 33²) = (1/2)*2*sqrt(34) = sqrt(34) !
Um die Höhen zu berechnen, müssen selbstverständlich zuerst die Seitenlängen mit der Distanzformel ermittelt werden, darum kommt man nicht herum.
Kontrolle (mit Vektorprodukt):
|2 0 i|
|3 3 j| = a x b = (-6; - 8; 6) = 2* (-3;-4;3)
|6 4 k|
A(Dreieck) = |(-3;-4,3)] = sqrt(34)
==========.................==========
Bemerkung:
Wie kommt es zu der o. a. Flächenformel
A = sqrt[|a|²*|b|² - (a.b)²] ?
Diese kann man relativ leicht herleiten, aus:
A =|a| * |b| * sin (phi) und a.b = |a|*|b|*cos(phi)
A² = |a|²*|b|² * [1 - (a.b)²/(|a|*|b|)²]
A² = |a|²*|b|² - (a.b)²
....
Gr
mYthos
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Alex (imon)
Junior Mitglied
Benutzername: imon
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 19:14: |
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ok, bis hierhin alles verstanden, aber wo sind denn nur die Höhen geblieben, oder seh ich die einfach nicht?! |
mythos2002 (mythos2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 63
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 19:29: |
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Na, die solltest (mit dem Vorwissen) schon allein ausrechnen können! Du hast die Fläche A und beispielsweise die Seite a (die Seiten hat Dir der Friedrich Laher doch schon mehr oder weniger hingeschrieben):
A = a*ha/2
2A = a*ha
ha = 2A/a ... ( = 2*sqrt(34)/sqrt(140) ) usw.
==========
Gr
mYthos
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Alex (imon)
Mitglied
Benutzername: imon
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 19:33: |
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merci, du bist eins schatz bzw. ihr seid zwei schätze und ich hab mal wieder den wald vor lauter bäumen nicht gesehen
Bye und Thx euer Alex |
