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Alexander (morgano)
Neues Mitglied
Benutzername: morgano
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 07-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. September, 2002 - 18:53: | 
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Hallo,
ich sitze gerade vor einer Aufgabe.
Dabei ist eine Folge rekursiv angegeben.
a(0) = 0;
a(n+1) = (a(n) - 1) / (4a(n) - 3);
Nun soll ich den Grenzwert bestimmen.
Ich weiß allerdings nicht, wie ich dies bei einer rekursiven Folge machen soll.
Kann ich die rekursive Form einfach in eine explizite umwandeln und dann den Grenzwert bestimmen?
Die expliziete Form lautet bei mir:
a(n) = n / (2n + 1);
Der Grenzwert ist folglich 1 / 2.
Kann ich das bei jeder rekursiv definierten Folge so machen, oder gibt es eine andere Vorgehensweise um auf die Lösung zu kommen?
Und vor allem: Ist die Lösung richtig?
Gruß
Morgi |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 507
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. September, 2002 - 23:25: |
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Hi Alexander
Also die darfst die Folge meiner Meinung nach auf jeden Fall in eine explizite umwandeln. Wenn du allerdings weißt, dass die Folge a(n) konvergiert kannst du das auch anders machen.
Der Grenzwert a(n+1) ist natürlich gleich dem Grenzwert a(n). Sei dieser Grenzwert a. Also gilt:
a=(a-1)/(4a-3)
<=> 4a^2-3a=a-1
<=> 4a^2-4a+1=0
<=> a=1/2
So kannst du bei rekursiven Folgen eigentlich immer vorgehen, wenn du weißt, dass der Grenzwert existiert.
Du kannst natürlich auch immer eine explizite Darstellung suchen, wird aber in vielen Fällen sicher sehr kompliziert.
MfG
C. Schmidt |
Alexander (morgano)
Neues Mitglied
Benutzername: morgano
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 07:35: |
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Und wie würde es bei dem Nachweis auf Monotonie gehen?
Ich kann z.B. schlecht a(n) > a(n+1) verwenden.
Odre gibt es da auch eine einfache Lösung, die vor allem schnell zum Erfolg führt?
Gruß
Morgi |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 204
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 10:02: |
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Hi Alexander,
Falls Du eine rekursive Folge hast, bei der die explizite Darstellung sehr kompliziert wäre zu bestimmen, dann gehst Du folgendermaßen vor:
Nachweis einer Beschränktheit mit vollst. Ind.:
a < A(n) < b => a < A(n+1) < b
Die Monotonie weist Du ebenfalls mit vollst. Ind. nach: A(n+1) < A(n) => A(n+2) < A(n+1)
Hast Du beides gemacht, dann kannst Du ohne Probleme A(n+1) := A(n) setzen und den Grenzwert bestimmen.
A(0) = 0
A(n) = 1/(A(n-1)+1)
A(1) = 1
A(2) = 1/2
A(3) = 2/3
A(4) = 3/5
A(5) = 5/8
A(6) = 8/13
Anmerkung diese Folge ergibt jeweils im Zähler und im Nenner die Fibonacci Folge, nur vesetzt und ein Folgenglied, und hätte eine extrem komplizierte explizite Darstellung;
Nachweis der Beschränktheit (in diesem Fall direkt):
A(n) <= 1
1/(A(n-1)+1) <= 1
A(n-1)+1 >= 1
A(n-1) >= 0
das ist gegeben, nirgends wird eine Subtraktion, welche eine neg. Zahl ergeben könnte durchgeführt und A(0) = 0 ist der Folgenbeginn;
Nachweis der Monotonie (in dem Fall auch direkt ohne vollst. Ind.):
A(n+1) >= A(n)
1/(A(n)+1) >= A(n)
1 >= A^2(n) + A(n)
0 >= A^2(n) + A(n) - 1
A^2(n) + A(n) - 1 <= 0
-1/2 +/- sqrt( 5 ) / 2
die neg. Lsg. < 0
die pos. Lsg. > 0,6
Auf Grund unserer Beschränktheit ist die Folge Monoton
Jetzt zum Grenzwert:
A(n+1) = A(n)
1/(A(n)+1) = A(n)
1 = A^2(n) + A(n)
A^2(n) + A(n) - 1 = 0
( -1 +/- sqrt( 5 ) ) / 2
der Grenzwert ist folglich 0,618... und ist gleichzeitig die kleinste aller oberen Schranken;
hier haben wir glzt. den Grenzwert von Fib(n) / Fib(n+1) gezeigt => genau das ist ja unsere Folge;
Es hindert Dich keiner daran eine Rekursive Definition zu vereinfachen;
z.B.:
A(0) = 0
A(1) = 1
A(n) = A(n-1) + A(n-2)
B(0) = 1
B(1) = 1
B(n) = B(n-1) + B(n-2)
C(n) = A(n) / B(n)
<=>
C(0) = 0
C(n) = 1/(C(n-1) + 1)
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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