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Ricki &Juli
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. März, 2001 - 17:30: | 
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Hi Mathe Freaks (Asse),
Bitten um dringende Hilfe!!!!
Der P(u/v) mit 1(kleinergleich)u(kleinergleich)3 liege auf dem Schaubild der f(x)=e^x.Das Schaubild von f, die Parallele zur x-Achse durch P sowie die Geraden x=1 und x=3 begrenzen eine Fläche.Für welches u wird der Flächeninhalt minimal?
Danke schon mal im voraus,
liebe grüße Juli und Ricki |
conny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. März, 2001 - 18:28: |
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Hi
Also ich würde zuerst mal eine Skizze malen und dann feststellen, dass es sich bei dem Flächeninhalt um 2 Integrale handelt:
A=ò1 u(v-ex)dx + òu 3(ex-v)dx
wobei das v ja f(u) ist folglich eu
Jetzt das ganze ausrechnen:
Das Integral von v ist v*x, das von ex wiederum ex also:
eu*x-ex von 1 bis u und
ex-eu*x von u nach 3
Jetzt das ganze noch einsetzen:
eu*u-eu-(eu-e) + e³-3eu-(eu-u*eu)
=2u*eu-6eu+e+e³
ausklammern:
A=(2u-6)eu+e+e³
Jetzt das ganze noch ableiten um das minimum der Fläche finden zu können:
A'=2eu+(2u-6)eu
Dann noch mal ausklammern:
(2+2u-6)eu=0
Das Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird
--> 2+2u-6=0 ---> 2u=4 --->u=2
Das dies ein Minimum ist merkt man daran, dass A(1) größer ist, wie auch A(3)
Hoffe ich konnte helfen
Conny |
Der Cisco (Cisco)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. März, 2001 - 18:42: |
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So ihr zwei, dann packen wir's ma an (is ne gute Übung für meine Klausur morgen ;)
Die gesuchte Fläche Teilen wir auf in I und II.
I ist der rechte Teil von x=u bis x=3, dieser ist ein Rechteck mit der Höhe 3 (zeichnet es, dann seht ihr's)
I= (3-u)*e^u
II (der restliche linke Teil) ist das Integral über f(x) in den Grenzen von 1 bis u, also
II= Integral(1-u) e^x dx
= [e^x]u,1
= e^u-e
Die Fläche A ist demnach I+II, also
A=3e^u+e^u-ue^u-e
oder vereinfacht:
A=(4-u)e^u-e
Wir leiten A(u) ab mit Produktregel und bekommen
A'(u)=(5-u)e^u
Das setzen wir =0, denn wir wollen ja einen Extrempunkt.
(5-u)e^u=0
5-u=0
u=5
dann müssen wir nur noch beweisen, das u=5, die einzige Extremstelle auch wirklich ein Tiefpunkt ist, also muss A"(5)>0 sein.
A"(u)=(6-u)e^u
A"(5)=(1)e^u,
Die e-Funktion ist immer positiv, also ist u=5 die gesuchte Lösung. Fragt nach, wenn ich zu schnell oder so war.
Cya Fabi |
Der Cisco (Cisco)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. März, 2001 - 18:45: |
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Conny, du hast leider was übersehen, oder deine Skizze stimmt nicht (oder ich nicht ;)) das rechte Integral ist gar kein "echtes" Integral, da die Fläche nur bis zur Parallelen der X-Achse durch P reicht und nicht bis zum Funktionsgraphen selber! |
Der Cisco (Cisco)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. März, 2001 - 18:46: |
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Nope, sorry, ich hab was überlesen und die Fläche UNTER der Geraden berechnet... mein Fehler |
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