| Autor |
Beitrag |
    
Ute
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 17:04: | 
|
Hallo,
ich weis nicht, wie ich die folgende Aufgabe lösen soll:
Bestimme diejenige Ursprungsgerade, die den durch die 1. Achse und durch f(x)= -x^2+6x bestimmten Parabelabschnitt in zwei inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt.
---
Ich habe von f(x) die Nullstelle ermittelt N(6;0) und dann das Integral von 0 bis 6 der Funktion f berechnet (36 Flächeneinheiten).
Nun weis ich nicht, wie ich auf die Gleichung der Ursprungsgerade kommen kann. Ich weis durch die Ursprungsgerade das die Gleichung die Form y=m*x+b hat, wobei b=0 ist, weil die Gerade durch den Ursprung geht.
Ich habe mir gedacht, die Gleichung mittels Zwei-Punkt-Form zu ermitteln, aber da fehlt mir ein weiterer Punkt der Geraden bzw. der Schnittpunkt mit der Parabel, wodurch der Flächeninhalt halbiert wird (18 FE).
Den Schnittpunkt mit f(x)=Ursprungsgerade(x) und nach x auflösen kann man auch nicht machen, solange man die Funktion der Ursprungsgerade ermittelt hat.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Bin auf eure Lösungsvorschläge gespannt.
Ute  |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 90
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 18:02: |
|
Hi Ute,
deine Anfangsüberlegungen und -berechnungen sind korrekt. Du kennst die Gleichung der Ursprungsgerade bis auf die Variable m.
Entscheidend ist der Punkt, an dem die gesuchte Gerade die Parabel schneidet, nennen wir ihn P(u/-u^2+6u).Da die Gerade die Fläche in zwei gleich große Stücke teilen soll, wissen wir, dass der Wert des Integrals von 0 bis u über die Differenz von Parabel und Gerade gleich 18 sein muss.
Drücken wir zunächst die Gerade mit u aus: Sie hat die Steigung m=(-u^2+6u)/u=-u+6
Geradengleichung y=(-u+6)x
Int von 0 bis u über [-x^2+6x-(-u+6)x ]dx=
Int von 0 bis u über [-x^2+ux] dx
F(x)=-1/3x^3+1/2ux^2
F(u)=-1/3u^3+1/2u*u^2=1/6u^3
F(0)=0
F(u)-F(0)=18
1/6u^3=18
u^3=108
u=108^(1/3)
Die passende Ursprungsgerade ist dann also
y=(-108^(1/3)+6)x
Gruß
Peter |
|
