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Beitrag |
    
markus
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. März, 2001 - 16:27: | 
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habe ein problem: gegeben: rechtwinkliges dreieck mit a=6, b=8 (daraus folgt c=10).gesucht: ankreisradius der seite a..wer kann helfen? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 07:25: |
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Hi Markus ,
Zur Lösung Deiner Aufgabe können verschiedene
Methoden eingesetzt werden.
Ich zeige Dir in einer Auswahl zwei davon.
1.Mehode: Verwendung einer fix fertigen Rezeptur.
In der elementaren Geometrie gibt es eine bekannte Skizze,
im welcher der Inkreis und die drei Ankreise eines beliebigen
Dreiecks eingezeichnet sind.
In der Figur treten die halben Dreieckswinkel und die Strecken
s, s-a, s-b ,s-c auf, wobei s der halbe Umfang des Dreiecks ist.
Für den Radius r des Inkreises und die Radien ra,rb,rc der
Ankreise gelten die folgenden Beziehungen, welche man direkt
aus der Figur abliest:
r = (s-a) * tan(alpha/2), ra = s * tan(alpha/2) , ....
Um Deine Aufgabe zu lösen, verwenden wir die letzte Formel
Wir berechnen s und alpha :
s = ½*(a+b+c) =1/2 * (6 + 8 + 10) =12
Aus cos (alpha) = 8/10 = 4/5 ermittelt man tan (alpha/2)
am besten mit der Halbwinkelformel des Tangens:
tan(alpha/2)= wurzel[ {1-cos(alpha)}/ {(1+cos(alpha)} ] =
wurzel(1/9) = 1/3.
Somit: ra = s * tan(alpha/2) = 12 * 1/3 = 4 als Schlussresultat.
2.Methode: mit analytischer Geometrie
Wir legen das Dreieck so in ein rechtwinkliges Koordinatensystem,
dass die Ecke C im Nullpunkt, die Ecke A auf der y-Achse
und die Ecke B auf der x -Achse liegen ;es gilt dann:
A(0 / 8) , B (6 / 0) , C(0 / 0)
Der Mittelpunkt M des gesuchten Ankreises kann als Schnittpunkt der
Halbierenden w1 des Innenwinkels alpha bei A und der Halbierenden des Aussenwinkels 90° bei C ermittelt werden.
Wir bestimmen die Gleichungen dieser Winkelhalbierenden:
Die Gleichung von w2 lautet: y = - x als Halbierende des zweiten und
vierten Quadranten.
Um die Gleichung von w1 zu bekommen, müssen wir etwas weiter
ausholen.
w1 schneidet die der Ecke A gegenüberliegende Seite BC in T (u/0) so,
dass die Strecken CT und TB sich wie die anliegenden Dreieckseiten
AC und AB verhalten,
also gilt :u / (6 - u ) = 8 / 10 , daraus u = 8/3.
Von der Geraden w1 kennen wir nun die Achsenabschnitte 8/3 auf
der x- Achse und 8 auf der y -Achse .
Die Gleichung von w1 lautet:
3 x + y = 8 ; der Schnittpunkt M von w1 und w2 hat die x- Koordinate
xM = 4.
Da der gesuchte Ankreis die y -Achse berührt, stimmt xM = 4
gerade mit dem gesuchten Ankreisradius ra überein; wiederum kommt:
ra = 4
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
markus
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 16:17: |
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danke vielmals für die prompte hilfe!!
freundliche grüsse, markus |
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