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Patrick G. (patrick_g)
Neues Mitglied
Benutzername: patrick_g
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 17:41: | 
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Treppenfläche f(x)= 2x²+1 0<x<2 eine ausführliche Rechnung wär gut....zum lernen für dioe Klausur |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 443
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 19:00: |
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die Aufgabenstellung ist unklar;
ist Integral( f(x)dx, x=0 bis 2 )
gesucht? |
Oliver (thuriferar783)
Junior Mitglied
Benutzername: thuriferar783
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 19:13: |
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Nein, ich denke es ist die Hinführung zum Riemann-Integral von wegen Ober- und Untersumme.
Nur ist die Aufgabe insoweit unpräzise gestellt, als dass man nicht weiß, in wie viele Teilintervalle man [0;2] aufteilen soll. |
mythos2002 (mythos2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 54
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 23:38: |
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Hallo,
das Intervall [0;2] wird zunächst in n Teile geteilt. Dadurch kann man n Rechtecke bilden, deren der Kurve nächste (obere) Seiten bei der Untersumme alle unterhalb der Kurve, bei der Obersumme alle oberhalb der Kurve zu liegen kommen. Da diese Teilung zunächst noch endlich ist, entsteht unterhalb bzw. oberhalb der Kurve ein treppenförmiger Linienzug.
Die Aufgabe ist es nun, jeweils die Summe der Flächen dieser n Rechtecke zu berechnen (Su= Untersumme und So = Obersumme) und dann durch Grenzübergang für n -> oo die exakte Fläche (Riemann'sches Integral) zu berechnen.
Es gilt erst die Abschätzung:
Su < A < So
und danach
lim(n -> oo)Su = A = lim(n -> oo)So
Das Berechnen der der Ober- und Untersumme kann - abhängig von der gegebenen Funktion - ziemlich rechenintensiv sein. Man benötigt im weiteren Verlauf auch folgende Summenformeln:
Summe[i=1 bis n](i) = n*(1 + n)/2
Summe[i=1 bis n](i²) = (1/6)*n*(2n + 1)*(n+1)
Die Formeln für Ober- und Untersumme sind einander sehr ähnlich (bei der Untersumme muss lediglich statt n -> n-1 gesetzt werden), sodaß man die Rechnung z.B. auf die Obersumme beschränken kann.
Da das Intervall [0;2] in n Teile geteilt wird, hat jedes Rechteck die Breite 2/n.
Die Länge des ersten Rechteckes ist gleich dem Funktionswert an der Stelle (0 + 2/n) = 2*(2/n)²+1
Die Länge des zweiten Rechteckes ist gleich dem Funktionswert an der Stelle (0 + 4/n) = 2*(4/n)²+1
......
1. R.: Länge: 2*(2/n)²+1, Br. 2/n; A1=(2/n)*[2*(2/n)²+1]
2. R.: Länge: 2*(4/n)²+1, Br. 2/n; A2=(2/n)*[2*(4/n)²+1]
.....
das i-te Rechteck
i. R.: Länge: 2*(2i/n)²+1, Br. 2/n; Ai=(2/n)*[2*(2i/n)²+1]
Die Summe aller nach i indizierten Flächen (i ist der variable Index und geht von 1 bis n)
ist die Obersumme So:
So = Summe(1;n)A(i) = Summe(1;n){(2/n)*[2*(2i/n)² + 1]}
So = Summe(1;n)[(2/n)*(8i²/n² + 1] = Summe(1;n)[8i²/n³ + 2/n]
So = (16/n³)*Summe(1;n)(i²) + (2/n)* Summe(1;n)(1)
[.. da nach i summiert wird, ist n auszuklammern!]
[Es ist die Summe(1;n)(1) = 1 + 1 + .... 1 (n mal) = n]
So = (16/n³)*(1/6)*n*(2n + 1)*(n+1) + (2/n)*n
So = (8/3)*n*(2n + 1)*(n+1)/n³ + 2
Jetzt kann der Grenzübergang für n -> oo erfolgen!
A = lim[n -> oo]So = lim[n -> oo][(8/3)*n*(2n+1)*(n+1)/n³ + 2]
A = (8/3)*lim[n -> oo][1*(2 + 1/n)*(1 + 1/n)] + 2
[Es wurde jeder Faktor durch n, somit durch n³ dividiert]
A = (8/3)*2 + 2 = 22/3 E²
==...............=======
Kontrolle durch Berechnung des bestimmten Integrals:
Int[0;2](2x² + 1)dx = (2*x³/3 + x)[0;2] = 16/3 + 2 = 22/3 E²
Gr
mYthos
Eine ganz ähnliche Frage wird übrigens auch in
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/127885.html?1032301746
gestellt.
(Beitrag nachträglich am 19., September. 2002 von mythos2002 editiert) |
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