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Beitrag |
    
Juliane Bürke (coola)
Junior Mitglied
Benutzername: coola
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 17:08: | 
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Hey!
Schon wieder eine Frage: unser Lehrer verlangt dauernd von uns, dass iwr Polstellen und Asymptoten sofort erkennen. Frage also, wie erkennt man eine Polstelle und wie eine Asymptote?
Die andere Frage ist, wann ist eine Polstelle eine Gerade und wann eine Parabel? Ich habe schon den ganzen Nachmittage damit rumgerätselt, ob es etwas mit den Exponenten zu tun hat, ob die Polstelle eine Parabel oder eine Gerade ist. Stimmt das? Und wenn ja, wie kann ich das beweisen???
Danke schonmal für eure Mühe!
Bye Juliane |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 17:46: |
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Hallo Juliane,
ich gehe mal davon aus, dass sich deine Frage auf gebrochenrationale Funktionen beschränkt.
Bei gebrochenrationalen Funktionen hast du im Zähler eine ganzrationale Funktion stehen, die nenne ich Z(x) und im Nenner ebenfalls eine N(x).
In zwei Fällen ist die Asymptote sofort erkennbar:
1.) Der Grad(d.h. der höchste Exponent) von N(x) ist größer als der von Z(x)=> Asymptote 0, also die x-Achse
2.) Der Grad von N(x) ist gleich dem von Z(x)=> Asymptote ist eine Parallele zur x-Achse in Höhe des Quotienten aus den Koeffizienten der höchsten Potenz
Im 3.) Fall führst du einfach eine Polynomdivision durch, solange es geht. Der "ganze" Anteil ist die Asymptote.
Beispiele:
a) Grad(Z(x)=5 Grad(N(x))=4 => Asymptote wird eine Gerade
b) Grad(Z(x)=5 Grad(N(x))=3 => Asymptote wird eine quadrat. Parabel
c) Grad(Z(x)=5 Grad(N(x))=2 => Asymptote wird eine Parabel 3. Grades
kurzum: Grad(a(x))=Grad(Z(x))-Grad(N(x))
Polstellen:
Ideal zur Analyse von Polstellen ist die Darstellung in Linearfaktoren im Zähler und im Nenner.
1) Jede Nullstelle des Nenners, die nicht Nullstelle des Zählers ist, ist einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Taucht der zugehörige Linearfaktor in gerader Potenz im Nenner auf, handelt es sich um eine Polstelle ohne VZW (in ungerader Potenz dann immer mit VZW)
2) Lässt sich ein Linearfaktor vollständig herauskürzen, so handelt es sich um eine stetig hebbare Lücke. Der Graph ist dann nur in diesem einen Punkt nicht definiert, dort ist also eine Lücke zu lassen.
Gruß
Peter |
Juliane Bürke (coola)
Junior Mitglied
Benutzername: coola
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 18:47: |
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Hey Peter!
Ja sorry, hatte vergessen daneben zu schreiben, dass ich meine Frage nur auf gebrochen rationale Funktionen beschränkt.
Okay, aber wie meinst du das "...in Höhe des Koeffizienten der höchsten Potenz"?
Das im 3. Fall habe ich auch noch nicht durchschaut! Geht's ein wenig einfacher???
Und dann noch "Polstelle:...ist die Darstellung in Linearfaktoren im Z und N". Was soll das heißen???
Ich hätt' mir im Leben nicht träumen lassen, dass Mathe sooo kompliziert sein kann!!!!!!! Aber ich bin´mir auch sicher, dass du mir meine Fragen beantworten kannst!
Danke schonmal!
Juliane
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Otto
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 18:54: |
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Hallo Juliane,
eine Polstelle ist nie eine Parabel und auch nie eine Gerade.
Eine Polstelle ist ein Punkt auf der x Achse. |
Juliane Bürke (coola)
Junior Mitglied
Benutzername: coola
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 19:01: |
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Mensch, ich meine doch Asymptote! Ist doch eh alles gleich! *zwinker* |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 20:05: |
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Hi Juliane,
das ist nicht kompliziert, aber ich lass mal Beispiele sprechen:
zu 1) f(x)=(6x^3-2x^2+5x)/(8x^4-9x^3+5x^2+6x)
Der Grad im Nenner ist höher=> Asymptote 0
zu 2) f(x)=(6x^3-2x^2+5x)/(9x^3+5x^2+6x)
beide Grade gleich => Asymptote 6/9=2/3 (Der "bruch" aus den "vorzahlen" der höchsten Potenz)
zu 3)f(x)=(8x^5-4x^4+6x^3-2x^2+5x-3)/(x^3+5x^2-2x+1)
Polynomdivision:
(8x^5-4x^4+6x^3-2x^2+5x-3)/(x^3+5x^2-2x+1)=8x^2-44x+242 + Rest
-(8x^5+40x^4-16x^3+8x^2)
------------------------
......-44x^4+22x^3-10x^2+5x-3
....-(-44x^4-220x^3+88x^2-44x)
---------------------------------
...........242x^3-98x^2+49x-3
.........-(242x^2+1210x^2-484x+242)
-----------------------------------
.................-1308x^2+.... =RESTZÄHLER
Asymptote a(x)=8x^2-44x+242
----------------
Zu den Polstellen:
1.) f(x)= [(x-3)(x+5)]/[(x-2)(x+1)^2]
Die Funktion hat Polstellen bei 2 und -1, bei 2 mit VZW, bei -1 ohne VZW
2.) f(x)= [(x-3)(x+5)]/[(x-3)(x+1)^2]
Der Linearfaktor (x-3) ließe sich vollständig kürzen, die Funktion dadurch vereinfachen zu
f(x)= (x+5)/[(x+1)^2]
Daher ist bei 3 lediglich eine Lücke, keine Polstelle. Diese Funktion hat nur die Polstelle ohne VZW bei -1.
Gruß
Peter} |
Juliane Bürke (coola)
Junior Mitglied
Benutzername: coola
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 14:50: |
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Hey!
Das ist ja alles schön und gut und ich denke, dass ich es auch verstanden habe, aber:
wann ist die Asymptoten denn nun eine Parabel und wann eine Gerade?
Ciao Juliane
PS: Vielleicht habe ich ja auch einfach nur eine Kleinigkeit übersehen... aber das im ersten Beitrag von Peter in 3.) Fall mit a) und b) und c) hab ich noch nicht ganz gepeilt!
Bye Bye |
Otto
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 17:38: |
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Aber du willst doch wissen wann eine Polstelle eine Gerade ist! |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 92
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 18:17: |
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Hi Juliane,
@Otto: findest du dich irgendwie konstruktiv?
Nochmal zu den Asymptoten:
Wenn der höchste Exponent im Zähler um eins höher ist als der höchste im Nenner, bekommst du als Asymptote eine Gerade.
Wenn der höchste Exponent im Zähler um zwei höher ist als der höchste im Nenner, bekommst du als Asymptote eine quadrat. Parabel.
Wenn der höchste Exponent im Zähler um drei höher ist als der höchste im Nenner, bekommst du als Asymptote eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
...
Wenn der höchste Exponent im Zähler um 278 höher ist als der höchste im Nenner, bekommst du als Asymptote eine ganzrationale Funktion 278ten Grades.
Gruß
Peter |
