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Beitrag |
    
eNeMPee
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 13:32: | 
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hi ihrs,
wieder ein Steckbrief..
folgende Aufgabe
Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 4, die gerade ist, die Wendestelle x = 1 und das relative Minimum 0 hat!
also nach meiner Rechnung sieht das dann so aus:
F(x) = ax^4 + bx^2 + c
F`(x) = 4ax^3 + 2bx
F``(x)= 12ax^2 + 2b
Nebenbedingungen
F`(0) = 0
F``(1)= 0 <=> 12 a + 2b = 0
b= -6a
Ergebniss
f(x) = ax^4 - bax^2 + c
ist das richtig? glaube eher nicht..
naja vielleicht kann mir ja nochmal jemand helfen .. dankeschön schonmal
-andi |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 16:08: |
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hi du,
weitgehend richtig, aber ein paar Kleinigkeiten stimmen noch nicht ganz.
Wenn es in der Aufgabenstellung tatsächlich heißt "das relative Minmum 0 hat", ist nur angegeben, dass der Funktionswert beim Minimum Null ist. Du hast den Text allerdings so gelesen "das relative Minimum bei0 hat".
Der Zusammenhang über die Wendestelle ist völlig korrekt b=-6a. Dann kann man die Funktion mit nur noch zwei Unbekannten ausdrücken:
f(x)=ax^4-6ax^2+c
f'(x)=4ax^3-12ax
f''(x)=12ax^2-12a
MIt f'(x)=0 suchen wir zunächst die Extremstellen
4ax^3-12ax=0
4a(x^3-3x)=0
4ax(x^2-3)=0
Mögliche Extremstellen sind x1=0 x2=SQRT(3) x3=-SQRT(3)
Überprüfung:
f''(0)=-12a
f''(SQRT(3))=24a
f''(-SQRT(3))=24a
Fallunterscheidung:
für a>0:
lokales Max bei (0/c)
lokales Min bei(SQRT(3)/-9a+c)
lokales Min bei(-SQRT(3)/-9a+c)
für a<0
lokales Min bei (0/c)
lokales Max bei(SQRT(3)/-9a+c)
lokales Max bei(-SQRT(3)/-9a+c)
Daraus ergeben sich zwei Lösungsmöglichkeiten
1.) a>0
Das lokale Minimum (=y-WERT) soll Null sein =>-9a+c=0 =>c=9a
mit b=-6a kommen alle Funktionen der Form
f(x)=ax^4-6ax^2+9a in Frage (a>0!).
2.)a<0
c=0
=>
f(x)=ax^4-6ax^2 (a<0!)
Kontrolliere doch bitte noch einmal die Aufgabenstellung hinsichtlich des Wörtchens "bei"
Gruß
Peter}
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eNeMPee
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 16:12: |
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hi,
ja in der Aufgabenstellung steht tatsächlich "bestimmen sie alle ganzrationalen funktionen vom grad 4, die gerade ist, die wendestelle x=1 und das relative Minimum 0 hat" 
werde mir jetzt mal deinen Rechenweg anschauen und versuchen nachzuvollziehen..
melde mich dann nochmal wenn es unklarheiten gibt..
danke schonmal
-andi |
eNeMpee
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 17:04: |
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hi again,
ab hier kann ich es noch nicht so ganz nachvollziehen
Fallunterscheidung:
für a>0:
lokales Max bei (0/c)
lokales Min bei(SQRT(3)/-9a+c)
lokales Min bei(-SQRT(3)/-9a+c)
für a<0
lokales Min bei (0/c)
lokales Max bei(SQRT(3)/-9a+c)
lokales Max bei(-SQRT(3)/-9a+c)
Daraus ergeben sich zwei Lösungsmöglichkeiten
1.) a>0
Das lokale Minimum (=y-WERT) soll Null sein =>-9a+c=0 =>c=9a
mit b=-6a kommen alle Funktionen der Form
f(x)=ax^4-6ax^2+9a in Frage (a>0!).
2.)a<0
c=0
=>
f(x)=ax^4-6ax^2 (a<0!)
was heisst lokales Max bei (0/c) und was
lokales Min bei (SQRT(3)/-9a+c
wie kommst du da auf die -9a+c ?`
danke nochmal
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Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 85
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 17:29: |
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hatte gerade schon ausführlich geschrieben, der beitrag ist aber weg :-((
Also in Kurzform:
Mithilfe der zweiten Ableitung kann man über Minimum oder Maximum entscheiden. Allerdings hängt hier die zweite Ableitung von a ab. Deshalb mache ich eine Fallunterscheidung.
Die Funktionswerte der Extremstellen erhälst du durch Einsetzen in f(x).(s.u.)
Erst am Ende nutze ich die Information aus, dass Funktionswert der lokalen Minimna Null sein soll.
---------
f(x)=ax^4-6ax^2+c
=>f(0)=0
=>f(SQRT(3))=aSQRT(3)^4-6aSQRT(3)^2+c=9a-18a+c=-9a+c
Gruß
Peter |
eNeMPee
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 12:42: |
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nochmal ne frage
Fallunterscheidung:
für a>0:
lokales Max bei (0/c)
lokales Min bei(SQRT(3)/-9a+c)
lokales Min bei(-SQRT(3)/-9a+c)
für a<0
lokales Min bei (0/c)
lokales Max bei(SQRT(3)/-9a+c)
lokales Max bei(-SQRT(3)/-9a+c)
wie kommt man auf die fallunterscheidung für a>0 und a<0 ?
und wie weiß ich was ich fürs lokale max oder min einsetzen muss und was bedeutet lokales max oder min?
und wieso ist einmal c= 0
und das andere mal c= 9a
?
;)
danke
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Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 88
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 15:00: |
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Hi again,
die Werte, die sich bei der Überprüfung der möglichen Extremstellen in der zweiten Ableitung ergaben, waren -12a für 0 und 24a für +-SQRT(3).
Wenn f'(x)=0 und f''(x)>0, so handelt es sich um ein lokales Minimum (einen Tiefpunkt) bei x.
Wenn f'(x)=0 und f''(x)<0, so handelt es sich um ein lokales Maximum (einen Hochpunkt) bei x.
Diese Überprüfungswerte der zweiten Ableitung hängen hier allerdings von der Variablen a ab. Je nachdem, ob a positiv oder negativ ist, ändern sich Maxima und Minima.
Wenn a >0 ist, so wird -12a negativ, also liegt dann bei 0 ein Hochpunkt vor. Zugleich wird dann 24a positiv, und somit finden sich Tiefpunkte (lokale Minima) bei -SQRT(3).
Ist andererseits a < 0, so ist es genau umgekehrt.
Mich interessieren für die Aufgabe nur die Minima.
Im Falle a>0:
Minima bei +-SQRT(3), dazu berechne ich die Funktionswerte durch Einsetzen in f(x):
f(x)=ax^4-6ax^2+c
f(+-SQRT(3))=aSQRT(3)^4-6aSQRT(3)^2+c=9a-18a+c=-9a+c
ALso habe ich Tiefpunkte bei T1(SQRT(3)/-9a+c) und T2 (-SQRT(3)/-9a+c). Den Funktionswert eines Tiefpunktes nennt man eben auch das "relative Minimum" Das sollte laut Aufgabe ja Null sein:
ALso ist -9a+c=0 <=> c=9a
=> f(x)=ax^4-6ax^2+9a
Im Falle a<0:
In diesem Fall liegt der Tiefpunkt bei 0.
f(x)=ax^4-6ax^2+c
f(0)=a0^4-6a0^2+c=c
Also Tiefpunkt bei T1(0/c). Aus der Bedingung, dass das relative Minimum 0 ist, folgt c=0.
=> f(x)=ax^4-6ax^2
Gruß
Peter |
