    
pêche
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 19:09: | 
|
Hallo zusammen!
Ich hoffe mir kann jemand bei der Lösung dieser Extremwertaufgabe helfen!
Geg.: Ein Zelt ohne Boden besteht aus einem Drehzylinder und einem über der Deckfläche nach aussen errichteten Drehkegel. Die Seite des Kegels hat die Länge 6 m. Die Höhe des Zylinders beträgt 2 m.
Ges.: Der Winkel den die Seite des Kegels mit der Höhe des Kegels einschliessen muss, damit das Volumen maximal ist? Wieviel m² Zeltplane wird zur Herstellung des Zeltes benötigt?
Ich danke euch im Voraus!
lg pêche  |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 429
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 09:17: |
|
wenn der Winkel x ist dann werden Radius r (des Kegels und Zylinders) und Höhe h des Kegels
r = 6*sinx, h = 6*cosx
das Volumen Vk des Kegels
Vk = pi*r²*h/3 = 6³*pi* sin²x * cosx / 3 = 72*pi*(cosx - cos³x)
und das Volumen Vz des Zylinders ( Zylinderhöhe = 2 )
Vz = pi*r²*2 = pi*72*sin²x = 72*pi*(1-cos²x)
das Gesamtvolumen V = Vk + Vz ( nehme an, dieses soll maximal werden - ist nicht ganz klar formuliert )
V = 72*pi*(-cos³x - cos²x + cosx + 1)
Zur Extremumermittlung V nach x ableiten und V' = 0 nach x lösen
V' = 72*pi*(3cos²x * sinx + 2cosx * sinx - sinx) = 0
(sinx)*(3cos²x + 2cosx - 1) = 0; die Lösung sinx = 0 also x=0 ergibt V = 0, ist also nicht die gesuchte,
3cos²x + 2cosx - 1 = 0 = (3cosx - 1)(cosx + 1); (im Kopf faktorisiert oder eben Quadratische Gl. in cosx lösen)
es sind also die 2 Lösungen cosx = 1/3, x = 70.529° und cosx = -1, x = 180° zu untersuchen.
Da x=180° wieder r=0, also V=0 ergäbe bleibt nur cosx = 1/3, sinx = 2*Wurzel(2)/3
Fläche ZylinderMantel = 2*r*pi*2 = 4*6*2*Wurzel(2)/3 = 16*Wurzel(2)
Fläche Kegelmantel = s²*pi*(r/s) = s*r*pi = 6*6*2*Wurzel(2)/3 = 24*Wurzel(2)
Zusammen 40*Wurzel(2) = 56.5685... m² Zeltplane ( des Verschnittes für den Kegelmantel wegen allerdings mehr ) |
