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Lisa Teich (ainadinya)
Neues Mitglied
Benutzername: ainadinya
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 17:42: | 
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Welcher einer Kugel einbeschriebene Kegel hat die größte Mantelfläche?
Ich weiß, dass das Volumen der Kugel V=4/3*pi*r³ ist und, dass die Mantelfläche des Kegels M=pi*r*s ist.
Die Extremalbedingung wäre also, dass M=pi*r*s maximal werden soll.
Aber welche Nebenbedingung muss ich nehmen, damit das ganze in Zusammenhang mit der Kugel steht?
Wäre nett, wenn mir wer helfen könnte...
Danke  |
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 23:23: |
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Hi,
die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Achsenschnitt durch den Kegel bzw. den Mittelpunkt der Kugel.
Der Radius des Kegels sei x, dessen Höhe y.
Der Achsenschnitt ist ein dem Kreis (Radius r) eingeschriebenes gleichschenkelige Dreieck. Im rechtwinkeligen Dreieck, gebildet aus dem Radius x des Kegels, dem Stück vom Mittelpunkt des Basiskreises des Kegels bis zum Mittelpunkt der Kugel (y - r) und dem Kugelradius r gilt der Pythagoras:
x² + (y - r)² = r²
x² + y² - 2ry = 0
Wir drücken x² durch y aus: x² = 2ry - y² .. NB
Des weiteren ist: s² = x² + y² (s ist Seitenerzeugende des Kegels)
M = pi*x*s = pi*x*sqrt(x² + y²), f. x² einsetzen:
M = pi*x*s = pi*sqrt(2ry - y²)*sqrt(2ry - y² + y²)
M = pi*x*s = pi*sqrt(2ry - y²)*sqrt(2ry)
Zur Vereinfachung pi weglassen, dann quadrieren (das Quadrat der Fkt. hat an der gleichen Stelle das Extremum!) und zum Schluß auch noch 2r als konst. Fakt. weglassen -->
M(y) = (2ry - y²)*y = 2ry² - y³
M'(y) = 4ry - 3y²
M''(y) = 4r - 6y
--------------------
V'(y) = 0
y*(4r - 3y) = 0
y1 = 0 (nicht sinnvoll); y2 = 4r/3
.........................============
M''(4r/3) = 4r - 8r = -4r < 0 .. Maximum!
Bitte Vorsicht beim Vorzeichen walten lassen, wegen des vorhergehenden Quadrierens! Vor und nach dem Quadrieren waren/sind aber die Vorzeichen gleich (positive Wurzeln!). Somit stimmt das Maximum.
x² = 2ry - y² = y*(2r - y) <-- y einsetzen:
x² = 4r/3 * 2r/3 = 2*4r²/9
x = (2r/3)*sqrt(2)
===================
s = sqrt(2ry) = sqrt(8r²/3) = 2r*sqrt(2/3)
==.............................=============
Die maximale Mantelfläche ist M = pi*x*s = (8r²/9)*sqrt(3)
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 09:21: |
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Zum Schluss muss es heißen:
Die maximale Mantelfläche ist M = pi*x*s = (8r²/9)*sqrt(3)*pi
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Matthias (mali1804)
Neues Mitglied
Benutzername: mali1804
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 15:43: |
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Du setzt vorraus, dass "Der Radius des Kegels sei x, dessen Höhe y." Aber was hat man unter der Höhe eines Radius' zu verstehen? |
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