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Beitrag |
    
Sophie****
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 15:47: | 
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hi, hab ein riesen problem, war ne woche krank und verstehe gar nichts mehr. habe eine aufgabe auf.
ich weiß zwar das ergebnis aber ich habe keine ahnung wie man darauf kommt =(.
also erstmal die Aufgabenstellung:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion fünften Grades ist punktsymetrisch zum Ursprung, hat in
P(1/0)einen wendepunkt un in O(0/0) die Gerade mit der Gleichung y=7x als Tangente. Bestimmen sie die ganzrationale Funktion.
als ergebnis soll dann irgendwann
f(x)=3x^5-10x^3+7x herauskommen, aber wie??
ich kann zwar extremwerte, wendestellen usw ausrechnen, aber das ist andersherum, als wir es sonst immer gemacht haben
ich wäre um schnelle hilfe sehr dankbar, da ich es morgen früh zeigen muss
danke
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sophie |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 74
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 15:59: |
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hi sophie,
wenn du sämtliche Kriterien drauf hast, ist das ein Kinderspiel.
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion fünften Grades, allerdings mit der angenehmen Eigenschaft punktsymmetrisch zum Urprung zu sein, d.h. nämlich dass es sich um eine ungerade Funktion (nur ungerade Exponenten) handelt. Sie hat dann die Form:
f(x)=ax^5+bx^3+cx
Auf Vorrat schon mal zwei Ableitungen:
f'(x)=5ax^4+3bx^2+c
f''(x)=20ax^3+6bx
So, jetzt musst du nur noch aufmerksam lesen, um alle Infos herauszufiltern (Wir brauchen 3 Bedingungen, da wir 3 Variable haben).
1.) P(1/0) liegt auf dem Graphen => Der Funktionswert an der Stelle 1 ist Null => f(1)=0 => a*1^5+b*1^3+c*1=0 => a+b+c=0
2.) 1 ist Wendestelle => f''(1)=0 => 20a+6b=0
[3.) O(0/0) wissen wir schon, da punktsymmetrisch]
3.) Bei 0 ist die Tangentensteigung 7 => die ABleitung an der Stelle Null ist 7 => f'(0)=7 => c=7
Daraus ergibt sich das Gleichungssystem:
a+b+c=0
20a+6b=0
c=7
-------
a+b+7=0
20a+6b=0
c=7
--------
c=7
a+b=-7
14a-42=0 // II-6*I, damit b rausfällt
-------
c=7
a=3
3+b=-7
------
c=7
a=3
b=-10
Jetzt nur noch für die Variablen in der Ausgangsfunktion einsetzen und fertig
f(x)=3x^5-10^3+7x
Gruß
Peter |
Klaus (kläusle)
Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 16:14: |
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Hi Sophie!
Du hast verschiedene Daten gegeben mit deren Hilfe du die Funktion bestimmen kannst:
Eine ganzrationale Funktion fünften Grades sieht so aus:
ax^5 + bx^4+ cx^3 + dx^2 + ex + f
1) Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Daher darf die Funktion nur ungerade Hochzahlen aufweisen.
Das hift: ax^5 + cx^3 + ex (f fällt sowieso weg, wegen P(o/o)
Ableitungen:
f'(x) = 5ax^4 + 3cx^2 + e
f''(x) = 20ax^3 + 6cx
2) Die Funktion muss an der Stelle P(o/o) die Steigung 7 haben, da die Tangente an die Kurve im Punkt P(o/o) die Steigung hat.
Aus der 1. Ableitung siehst du dann: e = 7
3) Der Punkt P(1/0) ist ein Punkt der Kurve. Es ergibt sich folgende Gleichung:
a + c + e = 0 <---> a + c + 7 = 0 (m)
4) Der Punkt P(1/0) ist zudem ein Wendepunkt. Mit Hilfe der 2.Ableitung ergibt sich:
20a + 6c = 0 (n)
Mit einem LGS kannst du aus den Gleichungen m und n die beiden Parameter a und c ausrechnen.
a + c = -7
20a + 6c = 0
------------
a = 3
c = -10
Nun hast du die gewünschte Funktion:
f(x) = 3x^5 - 10x^3 + 7x
Gruß Klaus |
Klaus (kläusle)
Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 16:15: |
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Ups, da war jemand schneller...
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