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eNeMPee
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 12:26: | 
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hi ihrs,
habe irgendwie immo eine kleine Denkblockade..
folgende Aufgabe
Bestmmen SIe alle ganzrationalen Funktionen
vom Grad 3, deren Graph durch A (-2|2), B (0|2) und C (2|2) geht und die x-Achse berührt!
so also die Funktionen lautet ja dann
F(x) = ax³+bx²+cx+d
dann die Nebenbedingungen
I f (-2)=2
II f (0) =2
III f (2) =2
nur die Bedingungen mit der "berührt die x-Achse" fehlt mir.. hm kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen und mir kurz erklären was dies bedeutet?
wäre super
danke
-andi |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 13:25: |
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hallo NMP,
"berühren" heißt immer: gleicher Funtkionswert und gleiche Steigung
"berührt die x-Achse bei t" beinhaltet also die Informationen f(t)=0 und f'(t)=0
Ärgerlich ist hier nur, dass die Stelle, an der die x-Achse berührt, nicht gennant wird.
Daher wird die Rechnung etwas aufwändiger:
----------------------------------
I -8a+4b-2c+d=2
II d=2
III 8a+4b+2c+d=2
-------------------
d=2
-8a+4b-2c=0
8a+4b+2c=0
------------
d=2
b=0
c=-4a
Dann heißt die Funktion:
f(x)=ax^3-4ax+2
f'(x)=3ax^2-4a
f'(x)=0
=>x=+-SQRT(4/3)
f(SQRT(4/3))=0 bzw. f(SQRT(4/3))=0
(4/3)aSQRT(4/3)-4aSQRT(4/3)+2=0
bzw. -(4/3)aSQRT(4/3)+4aSQRT(4/3)+2=0
-(8/3)aSQRT(4/3)=-2
bzw. (8/3)aSQRT(4/3)=-2
a=(3/4)SQRT(3/4)
bzw. a=-(3/4)SQRT(3/4)
f1(x)=(3/4)SQRT(3/4)x^3-3SQRT(3/4)x+2
f2(x)=-(3/4)SQRT(3/4)+3SQRT(3/4)x+2
Gruß
Peter |
eNeMPee
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 13:52: |
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hi peter,
danke erstmal für deine ausführliche erklärung..
folglich gibt es für die berührung an der x achse keine bedingung richtig?
hm irgendwie verstehe ich ab dem teil hier nix mehr :/
-----------------
Dann heißt die Funktion:
f(x)=ax^3-4ax+2
f'(x)=3ax^2-4a
f'(x)=0
=>x=+-SQRT(4/3)
f(SQRT(4/3))=0 bzw. f(SQRT(4/3))=0
(4/3)aSQRT(4/3)-4aSQRT(4/3)+2=0
bzw. -(4/3)aSQRT(4/3)+4aSQRT(4/3)+2=0
-(8/3)aSQRT(4/3)=-2
bzw. (8/3)aSQRT(4/3)=-2
a=(3/4)SQRT(3/4)
bzw. a=-(3/4)SQRT(3/4)
f1(x)=(3/4)SQRT(3/4)x^3-3SQRT(3/4)x+2
f2(x)=-(3/4)SQRT(3/4)+3SQRT(3/4)x+2
f(x)=ax^3-4ax+2 <--- kann man hier nicht a ausrechnen?
und wie kommst du auf => x = +SQRT (4/3)
was heisst das?
hm
-andi
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Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 14:02: |
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hallo NMP,
mit den drei Bedingungen kann ich das Gleichungssystem soweit lösen, dass ich nur noch die Unbekannte a habe. Jetzt kommt die Bedingung mit der Berührung ins Spiel. Ich weiß, dass es mindestens eine Stelle t gibt mit f(t)=0 UND f'(t)=0. Ich habe erst einmal die Nullstellen der Ableitung gesucht:
3ax^2-4a =0 // : a
3x^2-4=0 //+4
3x^2=4 //:3
x^2=4/3 // SQRT() [SQRT=squareroot=Quadratwurzel!]
x=+-SQRT(4/3) (Das sind meine in Frage kommenden "t" von oben!)
Dann habe ich diese Stellen in die Funktion f(x) eingesetzt. An diesen Stellen muss der Funktionswert (wegen "Berührung") gleich Null sein.
Aus diesen Gleichungen habe ich jeweils a bestimmt.
Gruß
Peter
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Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 14:04: |
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sorry, doppelt!
(Beitrag nachträglich am 17., September. 2002 von analysist editiert) |
eNeMPee
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 14:05: |
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oki..
vielen vielen dank dafür
schönen tag noch
-andi |
eNeMPee
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 14:36: |
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hi again..
also bis zum errechnen des wertes "+-SQRT(3/4)
habe ich es verstanden .. aber wie geht es dann weiter? wo setze ich die 3/4 ein?
und wie lautet die möglichen Lösungen?
wäre super nett wenn du mir das noch sagen könntest.. falls es dir keine Mühen macht
grüße |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 14:48: |
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rehi,
ich habe ja die Stellen x1,2=+-SQRT(4/3)als diejenigen errechnet, an denen die Steigung (1. Ableitung) gleich Null ist. Das sind also die möglichen Berührstellen. Wenn die x-Achse berührt wird, ist der Funktionswert Null, also weiß ich
f(+-SQRT(4/3))=0
Ich setze also einmal SQRT(4/3) und einmal -SQRT(4/3) für x in f(x) ein:
Als Beispiel mache ich es ausführlicg für SQRT(4/3):
f(x)=ax^3-4ax+2
f(SQRT(4/3))=a(SQRT(4/3))^3-4aSQRT(4/3)+2=0
a(SQRT(4/3))^3-4aSQRT(4/3)+2=0
a*(4/3)*SQRT(4/3)-4aSQRT(4/3)+2=0
SQRT(4/3)*((4/3)a-4a)+2=0
SQRT(4/3)*(-8/3)a=-2 //*(-3/8)
SQRT(4/3)*a=3/4 //:SQRT(4/3)
a=(3/4)*SQRT(3/4)
Damit haben wir endlich a. Wir wissen zudem c=-4a, also c=-(3/4)*SQRT(3/4).
Und damit endlich auch die Funktion.
Dasselbe Spielchen für die zweite Möglichkeit -SQRT(4/3).
Gruß
Peter
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eNeMPee
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 14:58: |
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folglich wäre dann das erste ERGEBNIS
f(x)= (3/4) mal SQRT(3/4)x³ -(3/4) mal SQRT(3/4)x² + 2
richtig?
danke für eine letzte Antwort
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Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 72
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 15:05: |
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Hi again :-)
fast 100%ig korrekt, aber b=0, also fällt die Potenz x^2 völlig raus.
Zudem ist mir eben ein kleiner Fehler unterlaufen, denn c=-4a, also c=-3SQRT(3/4)
Du musst also nur das
Quadrat und das 1/4 wegstreichen:
f(x)= (3/4) mal SQRT(3/4)x³ -(3/4) mal SQRT(3/4)x² + 2
Gruß
Peter} |
eNeMPee
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 16:11: |
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and again 
kann es sein das du bei der 2. Funktion ein x^3 vergessen hast?
f1(x)=(3/4)SQRT(3/4)x^3-3SQRT(3/4)x+2
f2(x)=-(3/4)SQRT(3/4)+3SQRT(3/4)x+2
und bei der errechnung von a welche regeln hast du da angewandt?`
thanks
-andi |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 75
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 16:19: |
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stimmt genau, das x^3 ist mir irgendwie verloren gegangen :-)
Bei der Berechnung von a habe ich nur ausgenutzt, dass SQRT(z)^3=z*SQRT(z) ist, da SQRT(z)^2=z. Der Rest ist Bruchrechnung, mit dem Kehrwert multiplizieren statt durch einen Bruch zu dividieren.
Gruß
Peter
(Beitrag nachträglich am 17., September. 2002 von analysist editiert) |
eNeMPee
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 17:13: |
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okay..
danke für deine mühen am heutigen tag
weiss es zu schätzen
bye n thanx!
-andi |
