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me
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 16:40: | 
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Hilft mir bitte!!
Muss am Donnerstag darüber ein Referat halten! Aufgabe lautet:
Einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist eine quadratische Säule mit maximalem Volumen einzubeschreiben!!!
Ich bitte euch sehr!!!! |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 423
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 18:13: |
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a: Basisquadratseitenlänge
h: Höhe
x: Abstand von der Spitze
A(x) = Querschnittfläche im Abstand x von der Spitze
die Fläche eines Schnittes parallel zur Basis ist
quadratisch proportional zum Abstand von der Spitze
(die Seiten s der Schnittquadrate bilden mit den Kanten der Pyramide zueinander ähnliche 3ecke,
die s sind proportional zu x, für x=0 ist s=0, für x=h ist s=a)
somit
A(x) = (a*x/h)², und das Säulenvolumen V(x)
V(x) = (h-x)*A(x) = a²*x²*(h-x)/h²
das nun nach x differenzieren und 0stelle der Ableitung suchen um das Extremum zu erhalten.
(Ein Referat soll das werden? 3 Minuten? 5 Minuten?) |
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 20:19: |
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Hi,
die von Friedrich angegebene Volumsformel soll noch näher begründet werden (die von ihm gewählten Variablenbezeichnungen sind übernommen):
Wir führen einen Parallelschnitt (d.h. einen Schnitt parallel zu einer Seite durch den Mittelpunkt der Pyramide) durch und benutzen die Ähnlichkeit des großen rechtwinkeligen Dreieckes a/2, h und Seitenhöhe zum oberhalb des Prismas verbleibenden kleineren Dreieck an der Spitze s/2, x, ... zu:
a/2 : h = s/2 : x
ax = hs
s = ax/h .. Nebenbedingung
Vp = s²(h - x) .. Volumen des Prismas, soll maximal werden (für s aus NB einsetzen):
Vp = a²*x²*(h - x)/h²
Für das Extremum dürfen alle konstanten Faktoren der ganzen Funktion (Vereinfachung der Ansatzfunktion) weggelassen werden, somit ist:
f(x) = x²*(h - x)
f(x) = x²h - x³
f'(x) = 2xh - 3x²
f'(x) --> 0
2xh - 3x² = 0
x*(2h - 3x) = 0
x1 = 0 .. nicht sinnvoll
x2 = 2h/3
==========
dies in die 2. Ableitung einsetzen, um die Art des Extremums zu verifizieren ...
f''(x) = 2h - 6x
f''(2h/3) = 2h - 4h = -2h < 0 Maximum!
x = 2h/3, aus NB --> s = ax/h = 2a/3
Die Höhe des Prismas ist h - x = h/3, sein (maximales) Volumen beträgt
Vp = (2a/3)²*h/3 = 4a²h/27
==..............==========
Gr
mYthos
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me
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 21:37: |
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Ich danke euch sehr!!
Habt mir wirklich aus der patsche geholfen!!!
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