| Autor |
Beitrag |
    
Jamil
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 13:33: | 
|
Hallo,
ich habe eine frage zum beweis von vektorräumen; ihr müsst euch vorstellen hier sitzt jemand der ist noch in der 12 klasse und hat sich erst jetzt mit vekorräumen beschäftigt.
Hier die aufgaben:
Die teilmenge M={(1 0 t)/ t element R} von R^3 bildet bezüglich der in R^3 definierten Addition und Vervielfachung keinen Vektorraum.
Warum ist das so, ich find das wieder toll wie super das unsere Mathematikbücher beschreiben.
(Ps .....(1 0 t) soll einen vektor darstellen, ich weiß nicht wie man das am PC in die vektorschreibweise um transformiert)
nächste aufgabe:
Zeige, dass U={(t 2t 3t)/t element R} bezüglich der in R^3 definierten Vektorraumoperation einen Vektorraum bildet.
Ihr würdet mir wirklich helfen, danke an alle
|
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 487
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 13:51: |
|
Hi Jamil
Dein erstes Beispiel scheitert grad an mehreren Vektorraumaxiomen.
Einmal ist die Addition nicht abgschlossen. Nimmst du beispielsweise die beiden Vektoren
(1,0,3) und (1,0,4) aus deiner Menge M. Die sind ja enthalten mit t=3 und t=4. Jetzt addieren wir diese:
(1,0,3)+(1,0,4)=(2,0,7)
Dies ist ganz sicher kein Vektor aus M wegen der 2!
Also kann deine Menge schonmal kein Vektorraum sein.
Ein anderer Beweis wäre zum Beispiel, dass kein neutrales Element existiert. Bei der gewöhnlichen Definition der Addition muss dieses (0,0,0) sein. Der Vektor liegt aber nicht in M. Du könntest noch an weiteren Eigenschaften des Vektorraums zeigen, dass diese Menge kein Vektorraum ist.
Vorausgesetzt hab ich hier jetzt mal, dass du mit der in R^3 definierten Addition und Multiplikation meinst:
(a1,a2,a3)+(b1,b2,b3)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
r(a1,a2,a3)=(r*a1,r*a2,r*a3)
Zweite Aufgabe:
U={(t,2t,3t)|t element R}
Ich weiss nicht wie ihr das jetzt machen sollt. Um nachzuweisen, dass U ein Unterraum von R^3 ist, genügt es, folgende 3 Gesetze nachzuweisen:
(1)U ist nicht die leere Menge.
(2)U ist abgeschlossen bzgl. der Addition
(3)U ist abgeschlossen bzgl. der Multiplikation
(1) ist denke ich offensichtlich.
Zu (2):
Die Vektoren (t,2t,3t) und (s,2s,3s) mit s,t aus R liegen beide in U.
(t,2t,3t)+(s,2s,3s)=(t+s,2(t+s),3(t+s))
Dieser Vektor liegt wieder in U, also ist U abgeschlossen bzgl. der Addition.
Zu (3):
Sei x aus R, (t,2t,3t) aus U.
x*(t,2t,3t)=(x*t,2*x*t,3*x*t)
Diese Vektor liegt natürlich auch wieder in U. U ist abgeschlossen bzgl. der Multiplikation. Also ist U ein Vektorraum.
Wenn du alle Vektorraumaxiome nachweisen sollst, kannst du dich ja nochmal melden.
MfG
C. Schmidt
|
Jamil
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 21:14: |
|
hallo christian,
also zu erstens: 1 und 0 gehören nur zu M? oder? wie müsste man es schreiben das auch andere zahlen zu M gehören?
zu zweitens: mit dem unterraum is so ein ding, ich hab jetzt eine sehr gute seite gefunden....warte mal ich poste sie gleich mal hier rein:
http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/1-Start.htm
da sind mehrere skripte zu vektorraum und so, wirklich sehr gut geschrieben, nur läd mein PC nur das erste zu vektorraum runter bei 2a,2b und 3 sagt er dass ers nicht entschlüsseln kann, falls es bei jemand geht..post to jamil_al_amin@hotmail.com
so jetzt zurück zur aufgabe, christian wenn es ihnen oder dir nicht zu viel zeit kosten würde das für mich anfänger auf den nachweis für den vektorraum zu beziehen wer ich ihnen sehr dankbar.
weil ich hab gerade heute damit angefangen, ich hab heute hier 10 stunde mathe hinter mir, langsam kapier ich die theorie, aber die praxis...
|
Jamil
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 21:40: |
|
der link klappt nicht ganz: auf der seite müsst ihr mal dann links oben unter mathematik auf vektorrechnung klicken, aight |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 497
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 21:56: |
|
Hi Jamil
also zu erstens: 1 und 0 gehören nur zu M? oder? wie müsste man es schreiben das auch andere zahlen zu M gehören?
Hier verstehe ich deine Frage nicht so ganz, aber ich werde nochmal versuchen die erste Aufgabe zu erklären.
Du hast zunächst mal deine Menge M gegeben.
In dieser liegt jedes Element der Form
(1;0;t) mit t aus R.
Setzt du zum Beispiel t=1 ergibt sich der Vektor:
(1;0;1)
Mit t=2
(1;0;2)
Mit t=3,212
(1;0;3,212)
Usw.
Um zu überprüfen, ob deine Menge M nun ein Vektorraum ist, mußt du folgende Axiome nachweisen.
1. Deine Menge ist abgeschlossen bezüglich der Addition.
D.h. liegen die beiden Elemente a und b in deiner Menge, so muss auch (a+b) in der Menge liegen.
2. Das Assoziativgesetz gilt.
D.h. sind die Elemente a,b und c aus deiner Menge, so gilt:
(a+b)+c=a+(b+c)
3. Es gilt das Kommutativgesetzt. Von nun an sind a,b und c immer Elemente deine Menge. Das erstpart mir schreibarbeit.
Es muss jetzt gelten:
a+b=b+a
4. Es liegt das neutrale Element O in deiner Menge. D.h. a+O=a für jedes Element a deiner Menge.
5. Es existiert ein Inverses Element a^(-1) zu a mit a+a^(-1)=O (neutrales Element)
Jetzt muss in einem Vektorraum noch eine Multiplikation mit Skalaren definiert sein. Skalare sind hier meist die reellen Zahlen.
Von nun an sind r und s reele Zahlen.
Jetzt müssen weitere 5 Punkte erfüllt sein.
6. Die Menge muss wieder abgeschlossen sein, nur diesmal bezüglich der Multiplikation.
d.h. liegt a in deiner Menge, so liegt auch r*a in deiner Menge.
7. r*(s*a)=(r*s)*a
8. (r+s)*a=r*a+s*a
9. r*(a+b)=r*a+r*b
10. 1*a=a
Wobei hier 1 eine reelle Zahl ist.
Damit es sich bei einer Menge tatsächlich um einen Vektorraum handelt, müssen alle diese Punkte erfüllt sein. Ist einer nicht erfüllt, so handelt es sich nicht mehr um einen Vektorraum. In deinem Beispiel scheitert es direkt an mehreren Sachen, wie ich schon gezeigt habe. Du könntest auch mal die abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation überprüfen. Du wirst feststellen, dass das auch nicht funktioniert.
Jetzt nochmal kurz zu deinem Beispiel und der Abgeschlossenheit bzgl. der Addition.
Jedes Element deiner Menge hat als 1. Koordinate eine 1 und als zweite Koordinate eine 0. Nur die 3. Kooardinate kann beliebig gewählt werden. Da du bei der Addition zweier Elemente der Menge immer eine 2 als erste Koordinate erhältst, liegt dieses Element auf keinen Fall in deiner Menge. Wäre die 1. koordinate wie die 2. 0,so sähe das schon wieder ganz anders aus.
zu zweitens: mit dem unterraum is so ein ding, ich hab jetzt eine sehr gute seite gefunden....warte mal ich poste sie gleich mal hier rein:
http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/1-Start.htm
da sind mehrere skripte zu vektorraum und so, wirklich sehr gut geschrieben, nur läd mein PC nur das erste zu vektorraum runter bei 2a,2b und 3 sagt er dass ers nicht entschlüsseln kann, falls es bei jemand geht..post to jamil_al_amin@hotmail.com
Geht bei mir auch irgendwie nicht.
so jetzt zurück zur aufgabe, christian wenn es ihnen oder dir nicht zu viel zeit kosten würde das für mich anfänger auf den nachweis für den vektorraum zu beziehen wer ich ihnen sehr dankbar.
Ich hatte die 2. Aufgabe mit dem sogenannten Unterraumkriterium gelöst. Ich werde dir erstmal den Begriff Unterraum erklären. Angenommen du hast einen Vektorraum V. Ist eine Teilmenge U von V wieder eine Vektorraum, so ist dies ein Unterraum.
Es scheint mir, dass du trotzdem alle Vektorraumaxiome nachweisen muss, also machen wir uns mal ans Werk. Die Punkte sind ja oben aufgelistet.
1. Hatte ich schon beschrieben.
2. Seien
(t;2t;3t), (s;2s;3s), (r;2r;3r) aus U. r,s,t aus R.
((t;2t;3t)+(s;2s;3s))+(r;2r;3r)
=(t+s;2t+2s;3t+3s)+(r;2r;3r)
=(t+s+r;2t+2s+2r;3t+3s+3r)
=(t;2t;3t)+(s+r;2s+2r;3s+3r)
=(t;2t;3t)+((s;2s;3s)+(t;2t;3t))
Das Assoziativgesetz gilt also. Im Prinzip führst du hier einfach alles auf die Rechenregeln der reellen Zahlen zurück.
3. Das Kommutativgesetz gilt:
(t;2t;3t)+(s;2s;3s)
=(t+s;2t+2s;3t+3s)
=(s+t;2s+2t;3s+3t)
=(s;2s;3s)+(t;2t;3t)
4. Neutrales Element ist (0;0;0). Es gilt nämlich:
(t;3t;3t)+(0;0;0)=(t;2t;3t)
5. Invers ist (-t;-2t;-3t), denn
(t;3t;3t)+(-t;-2t;-3t)=(0;0;0)
Bisher sind also alle Axiome erfüllt. Ich denke mal den Rest schaffst du auch selbst. Du musst eigentlich immer alles nur auf die Gesetze der reellen Zahlen zurückführen.
weil ich hab gerade heute damit angefangen, ich hab heute hier 10 stunde mathe hinter mir, langsam kapier ich die theorie, aber die praxis...
Das ist aber viel Zeit...
Naja, wenn du noch Fragen hast, kannst du dich ja nochmal melden.
MfG
C. Schmidt |
Jamil
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 14:01: |
|
Erst ein mal: Respekt. Es gibt doch noch menschen auf dieser welt die anderen helfen, auch wenn es „nur“ mathematik ist. Ich hab schon öfter dieses board benutzt da meine beiden leistungskursfächer mathe und physik sind. Doch dies ist dann immer meine letzte rettung, zunächst versuch immer eine aufgabe alleine zu lösen bloß wenn ich länger als ein tag gebraucht habe und immer noch keine lsg. hab dann geh ich hier her. Respekt christian.
Hier ist eine dieser aufgaben: Zeigen Sie ebenso, dass die Menge der monoton wachsenden Zahlenfolgen mit den folgenden Operationen keinen Vektorraum bildet!
(a index n) + (b index n) = (a index n + b index n)
r*( a index n) = (r*(a index n))
das mit dem index n soll bedeuten dass es sich um zahlenfolgen handelt. Ich glaube wenn ich das habe dann schaff ich das andere auch alleine.
|
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 499
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 15:48: |
|
Hi Jamil
Ich würde sagen dieses Beispiel scheitert unter anderem an der abgeschlossenheit bzgl. der Multplikation. Multiplizierst du die Folge mit (-1), so ist deine Folge nicht mehr monoton wachsend, sondern monoton fallend, also nicht mehr in deiner Menge.
Ein Inverses gibt es übrigens auch nicht.
MfG
C. Schmidt |
Jamil may Allah bless him
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 22:35: |
|
warum komm ich selber nicht drauf, ach.......naja, ich bewundere deine arbeit sehr, mich würd interessieren kriegst du irgendwie geld dafür? egal ob du es bekommst oder nicht, ich möchte einfach nur noch mal einen dank aussprechen. |
Jamil
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 12:09: |
|
Yo christian ich bins nochmal in der aufgabensellung oben steht: „...mit den folgenden operationen keinen vektorraum bildet!“. Sind damit die addition sowie die s-multiplikation gemeint, die angegeben sind? b index n ist ein element aus der Menge L also muss auch die summe element der Menge L sein, der vektorraum ist bzgl. der addition abgeschlossen. Denn eine monoton wachsende folge plus eine andere monton wachsende folge muss erneut eine monoton wachsende folge ergeben. Bei der skalar mulitplikation sieht das anders aus: wähle ich r element R also auch –r, ist die folge nicht mehr monoton wachsend sondern fallend.
Stimmt das alles so?
|
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 502
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 17:16: |
|
Hi Jamil
warum komm ich selber nicht drauf, ach.......naja, ich bewundere deine arbeit sehr, mich würd interessieren kriegst du irgendwie geld dafür? egal ob du es bekommst oder nicht, ich möchte einfach nur noch mal einen dank aussprechen.
Ich bekommen kein Geld dafür 
Yo christian ich bins nochmal in der aufgabensellung oben steht: „...mit den folgenden operationen keinen vektorraum bildet!“. Sind damit die addition sowie die s-multiplikation gemeint, die angegeben sind?
ja!
Mit den Operationen sind die Addition zweier Vektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar gemeint. In diesem Fall ist die Addition so definiert, dass bei der Addition zweier Vektoren jeweil das n. Glied der ersten Folge zum n.ten Glied der zweiten Folge addiert wird. Bei der Multiplikation wird jedes Folgenglied einzeln mit dem Skalar multipliziert.
b index n ist ein element aus der Menge L also muss auch die summe element der Menge L sein, der vektorraum ist bzgl. der addition abgeschlossen. Denn eine monoton wachsende folge plus eine andere monton wachsende folge muss erneut eine monoton wachsende folge ergeben.
Stimmt! Deine Menge ist abgeschlossen unter der Addition.
Bei der skalar mulitplikation sieht das anders aus: wähle ich r element R also auch –r, ist die folge nicht mehr monoton wachsend sondern fallend.
Genau. Ist r ungleich 0, so ist die Folge entweder bei der Multiplikation mit r oder bei der Multiplikation mit -r nicht mehr in der Menge.
MfG
C. Schmidt |
|
