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Beitrag |
    
Christian (cube)
Neues Mitglied
Benutzername: cube
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 16:17: | 
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Hey ihr,
ich habe echt ein prblem mit dem Bewei der folgenden Formel:
1*1+2*2+...+n*n=1/6n(n+1)(2n+1)
Ich habe schon alles mögliche versucht, komme aber irgendwie nicht richtig weiter.
Wäre echt voll super, wenn mir hier mal jemand helfen würde...
Viele Dank... Christian
Ps.sorry für das 2*2, wußte nicht wie ich hochzahlen schreibe}} |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 414
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 17:10: |
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Sicher hast Du schon geprüft ob Sie für n=1,2
stimmt. Vollständige Induktion ist nun,
zu
zeigen, daß sie, wenn sie für n = m stimmt
auch
für n = m + 1 stimmt;
bilde also die Differenz der rechten Seite für
n = m+1 (links also m+1 Glieder, letztes (m+1)² )
und
n = m ( links m Glieder, Differenz link = (m+1)² )
Bewiesen ist die Formel wenn dabei auch rechts
(m+1)²
herauskommt
( "Formatieren":
für Quadrate und 3te Potenzen
genügt
es, die ^ Taste und sofort 2 oder 3 zu tippen,
ansonten
klick mal auf de HOME page auf forum (links, das Bildchen )
und dort dann am linken Rand auf
Formatieren
)
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Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 203
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 17:19: |
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Hi,
Induktionsanang : n=1 ==>1=(1*2*3)/6=1 OK
Induktionsschritt :
Summe (0 bis n) n2+(n+1)2=(1/6)n(n+1)(2n+1)+(n+1)2
im rechten Term 1/6(n+1) ausklammern
=(1/6)(n+1) * (n(2n+1)+6n+6) **zusammenfassen
=(1/6)(n+1) * (2n2+7n+6) **2 ausklammern
=(1/6)(n+1) * 2(n2+3,5n+3)**Satz des Vieta
=(1/6)(n+1) * 2(n+1,5)(n+2) **2 wieder einrechnen
=(1/6)(n+1) * (2n+3)(n+2) ** 2n+3 anders schreiben
=(1/6)(n+1) * (2(n+1)+1)(n+2)
qed, denn man erhält Ausgangsformel mit n+1 statt n
Gruß, Thomas
qed. |
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