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Nico
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 18:17: | 
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der Graph der Funktion f mit der 1. Achse eine Fläche vom angegebenen Inhalt A einschließt:
f(x)=kx^2-9; A=6*Wurzel(3)
----
Ich habe folgende Frage zu der Aufgabe: Ich weis zwar, dass man zuerst die Nullstellen ermitteln muss, damit man danach den Integral mit dem Flächeninhalt gleichsetzen und nach k auflösen kann, aber ich weis nicht, wie ich die Nullstellen ermitteln soll! Soll ich die Nullstellen von kx^2-9 oder x^2-9 ermitteln? Da kommen bei mir aber voll die komischen Ergebnisse raus. Außerdem beeinflußt der Faktor k die Nullstelen, oder?
Könnt ihr bei der Lösung der Aufgabe helfen bzw. mir den Lösungsweg an dieser Aufgabe erklären?
Danke.
Nico (-: |
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 19:21: |
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Hi,
es ist im Prinzip fast alles richtig, was Du gesagt hast! Der Faktor k (der Parameter) muss natürlich (bis zum Gleichsetzen der Fläche) immer "mitgenommen" werden! Ob die Ergebnisse "schön" oder "komisch" sind, tut zwar in der Mathematik nichts zur Sache :-), aber man freut sich dennoch mehr über "glatte" Lösungen. Na schauen wir mal!
Somit ist zunächst für die Nullstellen:
kx² - 9 = 0
x² = 9/k
x1,2 = +/- 3/sqrt(k)
Die zu berechnende Fläche befindet sich daher zwischen den Grenzen -3/sqrt(k) und + 3/sqrt(k). Sie ist doppelt so groß wie die Fläche zwischen 0 und +3/sqrt(k), weil die Funktion kx² - 9 symmetrisch zur x-Achse ist.
Mithin ist daher
|Int[0;+3/sqrt(k)](kx² - 9)dx| = 3*sqrt(3)
(d. i. die Hälfte der Fläche zwischen den beiden Nullstellen; der Betrag ist wichtig, weil die Fläche positiv sein soll!!)
|[kx³/3 - 9x][0;+3/sqrt(k)]| = 3*sqrt(3)
|9/sqrt(k) - 27/sqrt(k)| = 3*sqrt(3)
18/sqrt(k) = 3*sqrt(3)
6/sqrt(k) = sqrt(3) |²
36 = 3k
k = 12
=======
Die Kurve lautet somit: f(x) = 12x² - 9, ihre Fläche beträgt zwischen den Nullstellen -sqrt(3)/2 und -sqrt(3)/2 dann auch wirklich A = |-6*sqrt(3)| = 6*sqrt(3). Das Integral selbst ist negativ, weil die Fläche unterhalb der x-Achse liegt.
Gr
mYthos
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Nico
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 19:03: |
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Hi Mythos,
folgende Frage:
|[kx³/3 - 9x][0;+3/sqrt(k)]| = 3*sqrt(3)
Wie hast du diese Gleichung in diese Umgeformt? Mir scheint es als hättest du das sqrt(k) beim Einsetzten in x^3 vergessen.
|9/sqrt(k) - 27/sqrt(k)| = 3*sqrt(3)
Es heißt in der Aufgabenstellung: A=6*sqrt(3) und nicht 3*sqrt(3)
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mythos2002 (mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 21:45: |
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Hallo Nico!
Du musst meine Antwort genau lesen! Es wurde ja im weiteren Verlauf wegen der Symmetrie der Funktion nur mit der HALBEN Fläche weitergerechnet:
--- Zitat Anfang ---
....
Mithin ist daher
|Int[0;+3/sqrt(k)](kx² - 9)dx| = 3*sqrt(3)
(d. i. die Hälfte der Fläche zwischen den beiden Nullstellen; ......)
|[kx³/3 - 9x][0;+3/sqrt(k)]| = 3*sqrt(3)
--- Zitat Ende ---
Nun das Einsetzen von 3/sqrt(k) in kx³/3 im Detail:
.. = k*[27/sqrt(k³)]/3 = k*9/[k*sqrt(k)], nun durch k kürzen!! =
= 9/sqrt(k) !!
================
Bemerkung: sqrt(k³) = k*sqrt(k) [teilweises Wurzelziehen]
Dass mein Ergebnis stimmt, kannst Du sofort überprüfen, indem Du mit diesem nochmals die Nullstellen und die Fläche zwischen diesen ermittelst.
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. September, 2002 - 11:01: |
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Sorry, bedauerlicher Schreibfehler, in meiner Antwort:
...
Sie ist doppelt so groß wie die Fläche zwischen 0 und +3/sqrt(k), weil die Funktion kx² - 9 symmetrisch zur x-Achse ist.
..
ist x-Achse falsch, es soll es natürlich heißen:
Sie ist doppelt so groß wie die Fläche zwischen 0 und +3/sqrt(k), weil die Funktion kx² - 9 symmetrisch zur y-Achse ist.
Gr
mYthos
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