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Beitrag |
    
Stephen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 16:01: | 
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1) Wie leite ich z.B. folgenden Term ab?
f(x)= fünfte Wurzel aus (5x)
2) Wie führe ich eine Polynomdivision bei z.B. so einer Funktion durch?
f(x)= (x^5-x²+x-15)/(x³-5x+5)
Danke im voraus! |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 16:19: |
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Hallo Stephen,
1)Am besten erstmal umschreiben:
f(x)=(5x)^(1/5)
Jetzt nach Kettenregel (äußere*innere ABleitung) ableiten:
f'(x)=(1/5)(5x)^(-4/5)*5=(5x)^(-4/5)*5
2) Wie schriftlich dividieren:
(x^5+0x^4+0x^3-x^2+x-15)/(x^3-5x+5)=x^2+5 + Rest
-(x^5.....-5x^3+5x^2)
---------------------
...........5x^3-6x^2+x-15
.........-(5x^3...-25x+25)
--------------------------
................-6x^2+26x-40
Rest=(-6x^2+26x-40)/(x^3-5x+5)
Gruß
Peter |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 508
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 16:27: |
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1) Einfach nur Kettenregel anwenden.
u(x)=5Öx=x1/5 v(x)=5x
Folglich ist
f '(x) = (1/5)(5x)(-4/5)*5 = 1/5Ö(5x)4 = (5Ö(5x))/(5x)
2) wie jede andere Polynomdivision auch.
x5-x²+x-15 = (x³-5x+5)(x²+5)-6x²+26x-40
x5-5x³+5x²
-----------
5x³-6x²+x-15
5x³-25x+25
---------
-6x²+26x-40
Es ist
(x5-x²+x-15) / (x³-5x+5) = x²+5 -(6x²-26x+40)/(x³-5x+5)
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Stephen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 13:51: |
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Dann noch eine Frage:
Wie lauten 2. und 3.Ableitung von z.B. 5^x und 5^(x²)?
Wie lautet die n-te Ableitung?
Danke im voraus! |
DULL (dull)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 15:18: |
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Hi Stefan,
f(x)=5^x = e^(ln5*x)
f'(x)=ln5*e^(ln5*x) (nach der Kettenregel)
f''(x)=ln5*ln5*e^(ln5*x)=(ln5)^2*e^(ln5*x)
...
fn(x)=(ln5)^n * e^(ln5*x)
Eine "n-te" Ableitung von 5^(x^2) dürfte schwer zu finden sein. Mir fällt zumindest keine einfache Regel ein.
Gruß, DULL
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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DULL (dull)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 15:27: |
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Die ersten Ableitungen von f(x)=5^(x^2)
sind:
1: 2*5^(x^2)*x*ln(5)
2: 4*5^(x^2)*x^2*ln(5)^2+2*5^(x^2)*ln(5)
3: 8*5^(x^2)*x^3*ln(5)^3+12*5^(x^2)*x*ln(5)^2
4: 16*5^(x^2)*x^4*ln(5)^4+48*5^(x^2)*x^2*ln(5)^3+12*5^(x^2)*ln(5)^2
5: 32*5^(x^2)*x^5*ln(5)^5+160*5^(x^2)*x^3*ln(5)^4+120*5^(x^2)*x*ln(5)^3
......
Ich kann dabei keine einfache Regel erkennen. Wenn du eine Regel erkennst, kannst du sie sicher einfach über vollständige Induktion beweisen. ich bin aber eher pessimistisch.
gruß, DULL
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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Stephen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 11:15: |
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Danke für die Antwort!
f(x)=5^x = e^(ln5*x)
f'(x)=ln5*e^(ln5*x) (nach der Kettenregel)
f''(x)=ln5*ln5*e^(ln5*x)=(ln5)^2*e^(ln5*x)
Kann man die zweite Ableitung nur mit e machen oder gibt es auch einen anderen Weg? |
