| Autor |
Beitrag |
    
Stephen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 15:58: | 
|
Wie begründe ich bei einer ganzrationalen Funktion, dass es sich bei den Definitionslücken um eine Lücke, eine Sprungstelle oder eine Oszillationsstelle handelt?!? |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 188
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 16:18: |
|
Hi Stephen,
Oszillationsstelle heißt Pol und nicht anders;
ein Pol ist ein Sprung um Unendlichen;
f(x) = 1/x => hat an der Stelle 0 einen Pol
f(x) = sign(x) => hat an der Stelle 0 einen Sprung
f(x) = (x^6 - 1) / (x^2 - 1) => hat an den Stellen +1 und -1 eine Lücke;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
|
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 63
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 16:31: |
|
Hallo Stephen,
eine ganzrationale Funktion hat überhaupt keine Definitionslücken, du meinst sicher gebrochen-ratioanle!
Zu deren Betrachtung splittest du Zähler und Nenner am besten in Linearfaktoren auf.
Definitionslücken sind dann alle Nullstellen des Nenners.
Lässt sich ein Linearfaktor im Zähler und im Nenner vollständig herauskürzen, so hast du es dort mit einer stetig hebbaren Lücke zu tun.
Bei jeder Definitonslücke, die in ungerader Potenz im Nenner auftaucht, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (entsprechend gerade Potenz -> ohne VZW.)
Bei "Oszillation" denke ich eher an so schicke Graphen wie den von f(x)=xsin(1/x^2) als an ganzrationale Funktionen.
Gruß
Peter
|
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 16:47: |
|
Hi,
ich sende Euch mal etwas, was ich kürzlich in einem anderen Forum zu diesem Thema geschrieben habe:
Allgemein heisst die gebrochen rationale Funktion p(x) = z(x)/n(x), wobei das Zählerpolynom z(x) und das Nennerpolynom n(x) rationale Polynome (solche mit rationalen Koeffizienten) sind.
Die Funktion p(x) = z(x)/n(x) liefert nur dann einen sinnvollen Wert, wenn der Nenner ungleich Null ist. Daher sind zunächst jene Stellen aus der Grundmenge der Funktion auszuschließen, für die der Nenner n(x) = 0 werden kann; damit erhält man die Definitionsmenge Df der Funktion.
Die Nullstellen des Nenners sind nun entweder Lücken oder Polstellen (Sprungstellen). Diese sind gesondert durch Grenzwertbestimmung der
ganzen Funktion zu untersuchen. Ist eine Nullstelle x_u des Nenners gleichzeitig auch eine Nullstelle des Zählers, liegt eine (hebbare) Lücke vor [durch den Faktor (x - x_u) kann "gekürzt" werden], ansonsten liegt eine Polstelle mit Sprung "ins Unendliche" und "aus dem Unendlichen" vor. Die Funktion hat dort eine vertikale Asymptote mit der Gleichung x = x_u.
Beispiel: p(x) = (2x³ - 14x + 12)/(3x² + 12x + 9)
a)
Zunächst die Nullstellen des Zählers (diese sind gleichzeitig auch die Nullstellen der ganzen Funktion), denn
z(x)/n(x) = 0 impliziert, dass z(x) = 0 ist.
Es ist also 2x³ - 14x + 12 = 0 zu setzen.
2 ausklammern -> 2 * (x³ - 7x + 6) = 0
Man sieht hier schnell, dass eine Lösung x1 = 1 sein muß (1 einsetzen).
Nunmehr ist die Polynomdivision gefragt!
Nach dem Hauptsatz der Algebra:
Das Polynom p_n(x) n-ter Ordnung in x mit rat. Koeffizienten
p_n(x) = x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x² + a_1*x + a_0
ist in n Linearfaktoren (x - x1)*(x - x2)* .... (x - xn) zerlegbar, wobei x1, x2, ..., xn die Lösungen der durch Nullsetzen des Polynoms entstehenden Gleichung n-ten Grades sind)
gilt:
(x³ - 7x + 6) : (x - 1) = x² + x - 6
Das Polynom ist also solcherart zerlegbar: 2*(x³ - 7x + 6) =
= 2*(x - 1)*(x² + x - 6)
Es ist also als Produkt w.o. anzuschreiben. Da dieses Produkt Null zu setzen ist, gilt, dass in diesem auch jeder Faktor Null zu setzen ist, der Null werden kann!
Somit erhält man durch Nullsetzen der quadratischen Gleichung die restlichen 2 Lösungen: x2 = 2 und x3 = -3
b)
Sehen wir uns nun den Nenner der Angabe an:
3x² + 12x + 9 = 3*(x² + 4x + 3) = (nach Vieta) = 3*(x + 1)*(x + 3)
Es gibt zwei Nullstellen des Nenners x_u1 = -1 und x_u2 = -3. Das u bezeichnet die Unstetigkeitsstelle.
x_u1 = -1 ist eine Polstelle, weil sie nicht Nullstelle des Zählers ist, die vertikale Asymptote dort hat die Gleichung x = -1 oder x + 1 = 0.
x_u1 = -3 ist gleichzeitig die dritte Nullstelle des Zählers x3 = -3.
Daher ist der Faktor (x + 3) Bestandteil sowohl des Zählers als auch des Nenners und es existiert dort (bei x = -3) ein endlicher Grenzwert der Funktion. Diesen kann man am leichtesten ermitteln, wenn man die Zähler- und Nenner-Funktion durch (x + 3) dividiert und danach in den Rest für x = -3 einsetzt.
p(x) = [2*(x - 1)*(x - 2)*(x + 3)] / [3*(x + 1)*(x + 3)]
Nach dem Kürzen ist p1(x) = [2*(x - 1)*(x - 2)]/[3*(x + 1)], dies liefert einen Wert (ist gleich dem Grenzwert) bei x = -3: p1(-3) = -20/3.
Es handelt sich hier um eine Lücke, die man durch Belegen der Funktion mit -20/3 bei x = -3 "ausfüllen" bzw. beheben kann. Somit kann die Stelle x = -3 solcherart in die Definitionsmenge aufgenommen werden.
c) Unter Asymptoten versteht man in erster Linie Geraden (denen die Kurve beliebig nahe kommt ohne sie zu schneiden oder zu berühren. Man kann den
Begriff allerdings auf "Asymptotenkurven" ausdehnen.
Es können folgende Fälle eintreten:
Fall 1: Der Grad der Zählerfunktion ist kleiner als der Grad der Nennerfunktion: Waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse);
Grenzwertberechnung für x - > +/- oo ergibt 0
Fall 2: Der Grad der Zählerfunktion ist gleich dem Grad der Nennerfunktion:
Waagrechte Asymptote bei y = a (a ist Koeffizient des höchsten Gliedes im Zähler dividiert durch den des höchsten Gliedes im Nenner)
Grenzwertberechnung für x - > +/- oo ergibt a
Fall 3: Der Grad der Zählerfunktion ist größer als der Grad der Nennerfunktion: Die Division des Zählerpolynomes durch das Nennerpolynom bis zu einem Rest, der kleiner als der Divisor sein muss, liefert ein ganzrationales Polynom vom Grad (Grad_z(x) - Grad n(x)), das die Asymptotenkurve darstellt.
Grenzwertberechnung des (Restes/Nennerpolynom) für x - > +/- oo liefert 0
Dieser Fall 3 ist bei diesem Beispiel hier anzuwenden.
p(x) = [2*(x - 1)*(x - 2)*(x + 3)] / [3*(x + 1)*(x + 3)]
p1(x) = [2*(x - 1)*(x - 2)]/[3*(x + 1)] .. wir können bei der Division einfacher von hier ausgehen, (2/3) ausklammern, dann funktoniert die
Division problemlos.
p1(x) = (2/3)*[(x² - 3x + 2) / (x + 1)] Die Division liefert (x - 4) und den Rest 6, somit ist
p1(x) = (2/3)*[x - 4 + 6/(x + 1)]
Die Asymptote hat die Ordnung 1, sie ist eine Gerade mit der Gleichung
y = (2/3)*x - 8/3
Die Funktion hat somit das Aussehen einer Hyperbel mit den Asymptoten
y = (2/3)*x - 8/3 und x = -1
Gr
mYthos |
Stephen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 13:49: |
|
Erst einmal danke für die Antworten! Nun weiß ich, wie ich Polstelle und Lücke begründen kann.. nur gibt es etwas Ähnliches nicht auch für Oszillationsstelle oder Sprungstelle bei gebrochen rationalen Funktionen? |
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 21:14: |
|
Ich weiss nicht, auf was Du eigentlich hinaus willst! Die eben besprochene Funktion war doch eben eine gebrochen rationale Funktion (d.s. Funktionen der Form: z(x)/n(x), also mit je einem ganzrationalem Polynom im Zähler und im Nenner)!
Vielleicht kannst Du Dein Problem noch näher beschreiben?
Gr
mYthos |
Karin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 21:29: |
|
Hallo mythos,
was verstehst du unter "Grundmenge einer Funktion" ? |
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 21:59: |
|
Hi Karin,
die Grundmenge einer Funktion ist die Menge, aus der die Argumente (x-Werte) bezogen werden können. Ist beispielsweise
f(x) = (x + 2)/(x - 1) in R x R gegeben, so ist die Grundmenge für die Argumente die Menge der reellen Zahlen.
Nebenbei - die Menge der y-Werte heißt Wertemenge, sie stammt (wegen R x R) ebenfalls aus der Menge R.
Da die Division durch 0 aber ausgeschlossen ist, ist die Funktion für x = 1 NICHT definiert. Die Definitionsmenge Df der Funktion ist also die Grundmenge vermindert um das Element {1} --> Df = R \ {1}
Gr
mYthos
|
|
