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Beitrag |
    
anja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. September, 2002 - 19:15: | 
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hallo!!!!ich sitze nun 2 stunden an der aufgabe und ich pack's nicht...könnt ihr mir helfen????
bestimme Nullpunkt/Extrempunkte/Wendepunkte dieser Aufgabe:
g(x)= -(x+1)^2*(x-2)
biittee
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mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. September, 2002 - 20:09: |
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Hi,
die Nullstellen sind ja schon zu sehen, denn Du mußt beim Nullsetzen der Funktion in dem Produkt
g(x) = 0
-(x+1)²*(x-2) = 0
jeden einzelnen Faktor Null setzen! Wenn ein Produkt 0 ist, so gilt das auch für jeden Faktor, welcher Null werden kann.
(x + 1)*(x + 1) = 0
--> x1,2 = -1 (Doppellösung)
x - 2 = 0
--> x3 = 2
Nullstellen N1,2(-1|0), N3(2|0)
===============================
Extremstellen:
g'(x) = 0
-2(x + 1)*(x - 2) - (x + 1)² = 0 (Produktregel)
-(x + 1)*[2*(x - 2) + (x + 1)] = 0
-(x + 1)*[3x - 3] = 0
x1 = -1; x2 = 1
y1 = ..; y2 = .. (x-Werte in g(x) einsetzen)
Um zu sehen, ob Max. oder Min. vorliegt, müssen die jeweiligen x-Werte in die 2. Ableitung eingesetzt werden:
g'(x) = -3*(x² - 1)
g''(x) = -6x
g''(-1) = 6 > 0, Minimum bei x = -1
g''(+1) = -6 < 0, Maximum bei x = 1
T(-1|0) ist Minimum und zugleich Nullstelle, d.h. die Kurve berührt dort die x-Achse.
Wendepunkte:
g''(x) = 0
-6x = 0
x = 0 --> W(0|2)
g''' = -6 (muss <> 0 sein)
Du kannst Dir auch vorab von dem Verlauf der Kurve ein ungefähres Bild machen, wenn Du Dir (einfach mit einer Wertetabelle) mal ein paar Punkte des Graphen bestimmst und diese in ein Koordinatensystem einzeichnest.
Gr
mYthos
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Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. September, 2002 - 20:09: |
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Hallo Anja,
machen wir erst mal die Ableitungen nach Produktregel (f(x)=u*v => f'(x)=u'*v+u*v')und Kettenregel.
Praktischerweise sind hier die "inneren" Ableitungen immer schön gleich 1.
g(x)= -(x+1)^2*(x-2)
g'(x)=-2(x+1)*(x-2)+(-(x+1)^2)=(x+1)(-2x+4-(x+1))=(x+1)(-3x+3)=-3(x+1)(x-1)
g''(x)=-3(x-1)+(-3(x+1))=-3x+3-3x-3=-6x
g'''(x)=-6
1. Nullstellen:
g(x)=0
-(x+1)^2*(x-2)=0
Ein Produkt wird genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
=>x1=-1, x2=2
N1(-1/0), N2(2/0)
N1 ist sogar eine doppelte Nullstelle?Berührstelle, wird also gleich bei den Extrema auftauchen.
2. Extrempunkte
notw. Bed. g'(x)=0
-3(x+1)(x-1)=0
mögliche Extremstellen: x1=-1; x2=1
g''(1)=-6 < 0, also HP (1/4)
g''(-1)=6 >0, also TP (-1/0)
3. Wendepunkte
notw. Bed.
g''(x)=0
-6x=0
x=0 mögliche WS
g'''(0)=6 <> 0, also WP (0/2)
Gruß
Peter |
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