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Beitrag |
    
Martin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 12:15: | 
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Für jedes t element R+ ist eine Funktion f|t gegeben durch f|t(x)= (tx^2-4)/x^2 Der Graph von f|t schliesst im 1.Quadranten mit den Koordinatenachsen und den Graden mit den Gleichungen x= 4 / sqrt(t) und y= t eine Fläche ein.
Berechnen Sie deren Inhalt in Abhängigkeit von t.
ist wichtig...
thx |
PeterL (mythos2002)
Neues Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 12:58: |
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Hi,
die Kurve verläuft von ihrer positiven Nullstelle bei 2/sqrt(t) an bis zum x-Wert 4/sqrt(t) innerhalb des Rechteckes, dessen Fläche ist mal
A1 = t* 4/sqrt(t) = 4*sqrt(t) [Nenner rational gemacht, dann durch t gekürzt)
Die Nullstelle(n) erhält man durch Nullsetzen des Zählers:
tx² - 4 = 0
x² = 4/t
x+ = 2/sqrt(t)
Nun muss von der Rechtecksfläche A1 die Fläche A2, die die Kurve mit der x-Achse in den Grenzen 2/sqrt(t) bis 4/sqrt(t) einschließt, abgezogen werden:
A2 = Int[2/sqrt(t); 4/sqrt(t)] [t - 4/x²)dx
[Die Funktion läßt sich leichter integrieren, wenn man den Zähler gliedweise durch x² dividiert]
A2 = [tx + 4/x][2/sqrt(t); 4/sqrt(t)]
A2 = 4t/sqrt(t) + 4*sqrt(t)/4 - 2t/sqrt(t) - 4*sqrt(t)/2
A2 = 4*sqrt(t) + sqrt(t) - 2*sqrt(t) - 2*sqrt(t)
A2 = sqrt (t)
Die gesuchte Fläche ist somit A(t) = A1 - A2
A(t) = 4*sqrt(t) - sqrt(t) = 3* sqrt(t)
====........................===========
Gr
mYthos
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Martin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. September, 2002 - 14:33: |
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Sie schrieben mir gestern eine Lösung für meine Aufgabe auf Zahlreicht.de, die Flächenberechnung und der Kurve unter Abhängigkeit von T, dafuer erstmal vielen dank.
Nur versteh ich leider nicht so ganz ihre Ausführungen, könnten sie vieleicht eine Skizze anhängen, auf der die Flächen A1 und A2 eingezeichnet sind?
Folgende Punkte verstehe ich zudem nicht:
1. [Nenner rational gemacht, dann durch t gekürzt)
2. [Die Funktion läßt sich leichter integrieren, wenn man den Zähler gliedweise durch x² dividiert]
Da ich leider morgen die Lösung vor dem Kurs vortragen muss, bitte ich um eine baldige Antwort.
mfG,
Martin |
PeterL (mythos2002)
Junior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. September, 2002 - 20:17: |
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Hi,
Frage Nr. 1:
Es geht um den Ausdruck (t*4)/sqrt(t); diesen Bruch kann man mit sqrt(t) erweitern, dann kommt es zu:
... = (t*4*sqrt(t))/[sqrt(t)*sqrt(t)] =
= (t*4*sqrt(t))/t ! Damit ist der Nenner rational gemacht worden, und überdies ist durch t zu kürzen:
... = 4*sqrt(t) !
Frage Nr. 2:
Die gegebene Funktion (t*x² - 4)/x² kann man umformen, indem man jeden Summand im Zähler durch das Monom im Nenner dividiert:
(t*x² - 4)/x² = t*x²/x² - 4/x² = t - 4/x²
Dieses wird dann nach x integriert: --> tx + 4/x
Denn es ist
Int(t)dx = tx (t ist ja eine Konstante) und
Int (-4/x²)dx = -4*Int(x^(-2)) = -4*[x^(-1)]*(-1) = 4/x
Skizze:
Gr
mYthos |
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