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Beitrag |
    
Orcan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. September, 2002 - 19:17: | 
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Nabend.
Ich hab ne Frage zu einer Formel von "egal" auf Seite
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/127186.html#POST110156
Ich habe versucht, das nachzurechnen, aber ich konnte nicht auf dasselbe Ergebnis kommen und möchte gern wissen, wo mein Fehler ist.
Taylorpolynom 3.Grades um x = ½ :
T3(x) = f(½) + f '(½)*(x-½) + f ''(½)*(x-½)²/2 + f '''(½)*(x-½)³/6
f(x) = x^(3/2) => f(½) = ¼Ö2
f '(x) = 3/2 * x^(1/2) => f '(½) = ¾Ö2
f ''(x) = 3/4 * x^(-1/2) => f ''(½) = ¾Ö2
f '''(x) = -3/8 * x^(-3/2) => f '''(½) = -¾Ö2
also ist
T3(x) = ¼Ö2 * [1 + 3*(x-½) + 3*(x-½)²/2 - 3*(x-½)³/6 ]
= (Ö2)/8 * ( -x³ + 9/2 * x² + 9/4 * x - 1/8 )
= (Ö2)/64 * ( -8x³ + 36x² + 18x - 1 )
Also gilt:
Sn k=1 k^(3/2) = (Ö2)/64 * Sn k=1 ( -8k³ + 36k² + 18k - 1 )
und mit den Summenformeln:
Sn k=1 1 = n
Sn k=1 k = n*(n+1)/2
Sn k=1 k² = n*(n+1)*(2n+1)/6
Sn k=1 k³ = ( n*(n+1)/2 )²
wird daraus:
Sn k=1 k^(3/2) = (Ö2)/64 * Sn k=1 ( -8( n*(n+1)/2 )² + 36n*(n+1)*(2n+1)/6 + 18n*(n+1)/2 - n )
= (Ö2)/64 * Sn k=1 ( -2n²(n²+2n+1) + 6n(2n²+n+2n+1) + 9n*(n+1) - n )
= (Ö2)/64 * Sn k=1 ( -2n4-4n³-2n² + 12n³+18n²+6n + 9n²+9n - n )
= (Ö2)/64 * Sn k=1 ( -2n4 -4n³ + 12n³ -2n² + 18n² + 9n² +6n +9n - n )
= (Ö2)/64 * Sn k=1 ( -2n4 +8n³ + 25n² +14n )
also:
Sn k=1 k^(3/2) = (Ö2)/64 * (-2*n^4 + 8*n^3 + 25*n^2 +14*n)
Aber der einzige Wert von n, für den diese Formel näherungsweise richtig ist, ist n=1 und außerdem stimmt sie auch gar nicht mit der angegebenen
Sn k=1 k^(3/2) ~ (18n^2 + 23n + 4)*Ö(2n) / 64
überein. 
Wo ist der Fehler und wie kommt man auf das n in Ö(2n)? |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. September, 2002 - 08:45: |
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Hi Orcan,
freut mich das dich die Formel interessiert. Dein Taylorpolynom T3(x) stimmt. Das gibt aber nur eine gute Näherung für x^(3/2) wenn 0 < x < 1 ist. Daher muss man die Summanden normieren, das geht durch Herausheben von n^(3/2):
Sn k=1 k^(3/2) =
n^(3/2)*Sn k=1 (k/n)^(3/2) ~
n^(3/2)*Sn k=1 T3(k/n)
Mit den Summenformeln kommt man dann auf (18n^2 + 23n + 4)*√(2n) / 64
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