| Autor |
Beitrag |
    
Jahn
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. März, 2001 - 13:14: | 
|
Hi Leute,
ich bräuchte wirklich dringend Lösungswege und deren Ergebnisse zu folgenden Aufgaben:
Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=x*e^ax ; a>0
a) Gesucht sind Nullstellen, Extremstellen und
Wendestellen
b) Bestimmen der Gleichungen der Ortskurven der
Extrem- und Wendestellen von fa
c) Zeichnen des Graphen von f1/3 sowie die
Graphen der Ortskurven aus b)
d) Bestimmen der Gleichung der Wendetangente
von f1/3
e) Zeigen, dass F(x)=3*(x-3)*e^x/3 eine
Stammfunktion von f1/3 ist
f) Bestimmen des Inhaltes der von f1/3 und der
x-Achse im 3. Quadranten eingeschlossenen,
einseitig nicht begrenzten Fläche A
g) Bestimmen des maximalen Inhalts, den ein
achsenparalleles Rechteck im 3. Quadtranten
einnehmen kann, wenn eine Ecke im Ursprung und
eine zweite auf f1/3 liegen soll
h) Für welchen Wert von a berühren sich die
Graphen von fa und g(x)=x^3
Helft mir bitte!
Danke im vorraus |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. März, 2001 - 21:37: |
|
Hi Jahn,
Von Deiner umfangreichen Aufgabe
(Abituraufgaben können offenbar nicht lang genug
und zerdehnt genug sein !)
löse ich diejenigen Teilaufgaben, die mir am besten
gefallen; es sind dies die Aufgaben b) und h).
Zu b)
Erste und zweite Ableitung mit Produktregel und Kettenregel :
fa ' (x) = a x * e ^ ( a x ) + e ^ (a x) = e ^ (ax) * [1 + a x ]...... (1)
fa ' '(x) = a * e ^ ( a x ) [1 + a x ] + a * e ^ ( a x )
= a * e ^ a x ) [ 2 + a x ].................................................................(2)
Die Nullstelle
xo = - 1/a ......................................................................................(3)
von fa ' (x) liefert das relative Minimum mit dem y-Wert
yo = x * e ^ (-1)..............................................................................(4)
Dass ein Minimum vorliegt , zeigt der Wert der zweiten Ableitung,
der an dieser Stelle mit a* e^(-1) positiv ausfällt.
Anmerkung
Da a>o vorausgesetzt wird, ist xo für alle a-Werte negativ
Die Ortskurve der Tiefpunkte ist eine Halbgerade, welche im Nullpunkt O beginnt und welche die Gleichung hat
y = x * e ^ (-1),
°°°°°°°°°°°°°°°
wie man durch Elimination des Parameters a aus (3) und (4) erkennt.
Der x-Wert xw des Wendepunktes ist die Nullstelle xw von fa'' (x):
xW = - 2 / a ( negativ für alle a > 0).................................................(5)
dazu gehört:
yW = - 2 / a * e ^ ( - 2) .....................................................................(6)
Durch Elimination von a aus (5) & (6) folgt als Gleichung der
Ortskurve der Wendepunkte:
y = x * e ^ ( -2 ), wiederum eine (Halb-)Gerade durch O
°°°°°°°°°°°°°°°°
Teilaufgabe h)
Schnittpunkt:
y-Werte gleichsetzen: x ^ 3 = x * e ^ (a x)
Fallunterscheidung:
(I) x = 0
(II) x nicht null, dann gilt
x ^ 2 = e ^( a x ) ..............................................................................(7)
Sollen die beiden Kurven sich berühren, müssen für die soeben
ermittelten x-Werte auch die Ableitungen y' = 3 x ^ 2 und fa'(x) aus (1) übereinstimmen, also muss gelten:
3 x ^2 = e ^ (ax) * [1 + ax ]........................................................................(8)
Verwendet man nun x = 0 aus Fall (I) , so kommt man auf den
Widerspruch 0 = 1.Also kommt höchstens Fall (II) in Frage.,
den wir nun konsequent weiterverfolgen:
Wir setzen e ^ (a x) = x ^ 2 aus (7) in (8) ein und erhalten :
3 x^2 = x^2 ( 1 + a x ) oder: ax = 2 , mit (7) wird daraus :
x = e als x -Wert des Berührungspunktes B ; für yB gilt: yB= e^3
Der gesuchte a-Wert, für welchen die Berührung stattfindet, ist :
a = 2 / e
°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
