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Beitrag |
    
Edue
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. August, 2002 - 21:07: | 
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Es gilt: x ist binominalverteilt.
P(x=k)=(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k)
E(x)=n*p
Ich bräuchte jetzt Beweise warum diese beiden Formeln gelten.
Hoffentlich kann mir jemand helfen. |
DULL (dull)
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Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. August, 2002 - 13:32: |
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Hi Edue,
ich schreibe dir hier mal den Beweis dafür auf, dass gilt E(x)=n*p. Den zweiten Beweis amche ich (vielleicht) noch nachher (muss ich allerdings jetzt voraussetzen).
per definitionem gilt:
E(x)=S n k=0k*P(x=k)
-----
ein bisschen umformen und versuchen n*p zu isolieren:
-----
= S n k=0k*(n über k)*p^k * q^(n-k)
= S n k=1k*n!/((n-k)!*k!) * p^k*q^(n-k)
= S n k=1 n*(n-1)!/((k-1)!*((n-1)-(k-1))!) * p*p^(k-1)*q^((n-1)-(k-1))
=n*p*S n k=1 (n-1 über k-1)*p^(k-1)* q^((n-1)-(k-1))
----
Nun muss man zeigen, dass gilt: S n k=1(n-1 über k-1)*p^(k-1)* q^((n-1)-(k-1))=1
Dazu setzt man k-1=l und n-1=m:
-----
=n*p*S m l=1 (m über l)*p^(l)* q^(m-l)
und das dürfte dir bekannt vorkommen: Die Summe ergibt also die Summe aller Wahrscheinlichkeiten, also ist die Summe=1 und der Beweis steht!
=n*p*1=n*p
q.e.d.
Vielleicht ist dies nicht der einfachste Weg, aber einen anderen hatte ich nicht im Kopf.
Gruß, DULL
(Beitrag nachträglich am 30., August. 2002 von DULL editiert)
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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Tyll (tyll)
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Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. August, 2002 - 16:59: |
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Hi!
P(x=k)=(n über k)*pk*(1-p)n-k
kannst du nicht beweisen, höchstens, daß es sich um ein Wahrscheinlichkeitsmaß handelt.
Ansonsten ist X binomialverteilt, wenn gilt P(X=k)=(n über k)*pk*(1-p)n-k.
Wann und ob das der Fall ist, kann man entweder empirisch begründen oder sich klug überlegen.
Tyll
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DULL (dull)
Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. August, 2002 - 19:18: |
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Hi Tyll!
Diese Definition der Binomialverteilung ist mir unbekannt. Die Formel ist mir vielmehr als Folgerung aus der Definition bekannt. Als Definition ist mir geläufig, dass die Binomialverteilung die Verteilung ist, die bei Bernoulli-Ketten entsteht.
Wenn man von den Axiomen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ausgeht (z.B. von denen von kolmogoroff), wäre es damit doch sehr wohl möglich die Formel formal zu beweisen, oder? (dies ist keine rhetorische Frage, ich würde es wirklich gerne wissen...)
Gruß, DULL
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Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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Edue
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. August, 2002 - 08:13: |
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danke! |
Tyll (tyll)
Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. August, 2002 - 15:45: |
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Hi DULL!
Stimmt. Das kann man berechnen, ist auch nicht schwer, wenn man berücksichtigt, daß es bei der Kette nicht auf die Reihenfolge ankommt und die W'keit berechnet wird, daß genau k von n "Treffer" erzielt werden.
Die Frage war aber in meinen Augen: Wie beweise ich "X ist Binomialverteilt also gilt obige Verteilung".
Nun heißt aber X binomialverteilt, wenn sie diese Verteilung besitzt, die Verteilung ist also keine Folgerung aus einer anderen Eigenschaft.
Nachzuweisen, daß X derart verteilt ist, kann man entweder, indem man den Versuch dahingehend analysiert, welche Verteilung X daraus folgend zugrunde liegen muß ODER man macht viele Versuche und schätzt dann die Verteilung.
Meistens ist der erste Weg aber der einfachere, besonders, wenn man den Versuch kennt.
Gruß
Tyll |
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