    
Fabian Lenhardt (fabi2)
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Benutzername: fabi2
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 12:40: | 
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Hi Jenny!
Ich nehme mal an, du meinst den Gaußschen Alghorhitmus zur Lösung von linearen Gleichungssystemen.
Fangen wir mit einem sehr einfachem GLS (Gleichungssystem) an:
(I) x+y=2
(II)x-y=0
Jetzt kann ich diese beiden Gleichungen beliebig addieren und subtrahieren, ich kann z.B. eine andere Gleichung erstellen, indem ich 3*(I)-2*(II) berechne:
3x+3y=6
-2x+2y=0
----------
x+5y=6
Diese GLeichung stimmt jetzt auch. Dadurch haben wir jetzt aber nichts gewonnen (es sind ja immer noch zwei Unbekannte).
Was ist jetzt aber, wenn man so addiert, dass das y wegfällt? Hier ist das offensichtlich einfach (I)+(II): 2x=2
Jetzt adediert man die erste Zeile so zur zweiten, dass das x in der zweiten Zeile wegfällt:
(II)+(-1)*(I): -2y=-2
Die Lösungen sind also 2/2 = 1 und -2/-2 = 1.
Zum echten Gauß ist es jetzt nur noch ein kleiner Schritt.
Schreiben wir nochmal das GLS auf:
1x+1y=2
1x-1y=0
Das schreiben wir in eine Matrix, indem wir einfach x,y und = weglassen:
M =(1 1 2)
(1 -1 0)
Oben haben wir jetzt zwei GLeichungen addiert. Was ist das entsprechende für Matrizen? Die Addition von Zeilen!
Wir addieren jetzt die zweite zur ersten Zeile:
M = (2 0 2)
(1 -1 0)
Damit in der zweiten Zeile das erste ELement (das das x repräsentiert) 0 wird, muss man das 1/2-fache der ersten Zeile dazuaddieren:
M = (2 0 2)
(0 -1 -1)
Allgemein ist die Vorgehensweise so, dass man die Matrix diagonalisiert, so dass nur noch auf der "Diagonalen" (da, wo oben 2,-1 steht) und in der letzten Spalte von Null verschiedene Elemente stehen. Beispiel:
a 0 0 b
0 c 0 0
0 0 d e
Wäre in diesem Falle eine "diagonalisierte" Matrix.
Jetzt noch ein ausführliches Beispiel:
x+y+z=4
2x+y-z=1
(0*x+)y-2z=-3
Matrix:
1 1 1 4
2 1 -1 1
0 1 -2 -3
Zeile2-2*Zeile1:
1 1 1 4
0 -1 -3 -7
0 1 -2 -3
Zeile1+Zeile2, Zeile3+Zeile2:
1 0 -2 -3
0 -1 -3 -7
0 0 -5 -10
Zeile1-2/5*Zeile3:
1 0 0 1
0 -1 -3 -7
0 0 -5 -10
Zeile2-3/5*Zeile3:
1 0 0 1
0 -1 0 -1
0 0 -5 -10
Die LÖsungen lassen sich jetzt leicht ablesen:
x = 1/1 = 1
y = -1/-1 = 1
z = -10/-5 = 2
Gruß
FAbi |
