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Beitrag |
    
Carsten Lindemann (Carlinde)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 20:48: | 
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Wer kann mir diese Aufgabe lösen?
Gegeben:
Der Graph von fk: x=(2x+k)*e^-x/k mit k > 0
Der Graph von fk wird mit Gk bezeichnet.
1.
a)Bestimmen sie die Schnittpunkte von Gk mit den Koordinatenachsen.
Untersuchen sie das Verhalten der Scharfunktionen für x gegen + unendlich für x gegen – unendlich!
b)Bestätigen sie:
fk´(x)= - 1/k *(2x-k)* e^-x/k und fk``(x) = 1/k^2 (2k-3k) * e^-x/k
Bestimmen sie die Lage und Art des Extrempunktes von Gk. Zeigen die, dass Gk einen Wendepunkte hat und geben sie dessen Koordinaten an!
c)Weisen sie nach, dass die Extrempunkte aller Graphen Gk auf einer Geraden liegen, und geben sie eine Gleichung dieser Geraden an.
d)Zeigen sie, das Wendetangenten aller Graphen der Schar zueinander parallel sind.
e)Berechnen sie die Gleichung der Wendetangente von G2 und den Schnittpunkt dieser Wendetangente mit der x-Achse.
2.
Der Graph Gk und die x-Achse schließen ein Flächenstück ein, dass sich im 1. Quadranten ins Unendliche erstreckt. Zeigen sie, dass diesem Flächenstück für alle k ein unendlicher Inhalt Ik zugeordnet werden kann. Geben sie den Wert von Ik an. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 21:53: |
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Hib Carsten,
Deine Aufgabe hat zwei Glanzlichter,
denen ich nachgehen möchte
Teilaufgabe c)
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Die erste Ableitung ist leicht zu ermitteln
Mit der Produktregel und Kettenregel bekommen wir:
y ' = 2 e ^ ( - x / k) - 1 / k * ( 2 x + k ) * e ^ ( - x / k )
= - 1 / k * [ - k + 2 x ] * e ^ ( - x / k )
x = xo = k / 2 ist die einzige Nullstelle der ersten Ableitung.
Hier liegt ein Extremum vor, wie die weiter unten berechnete
zweite Ableitung zeigt.
Parameterdarstellung der Ortskurve der Extramalpunkte mit
k als Parameter:
x = k / 2 , daraus durch Einsetzen in die Funktionsgleichung:
y = 2 k * e ^ ( - ½ )
Eliminiert man k so erhält man als Ortskurve die Ursprungsgerade
y = 4* e ^ ( - ½ ) * x .
Teilaufgabe d)
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Die zweite Ableitung lautet in vereinfachter Form so:
y ' ' = 1 / k ^ 2 * e ^ (- x / k ) * [2 x - 3 k ] ;
einzige Nullstelle und damit x-Wert der Wendepunkte:
x = xW = 3 / 2 * k .
Diesen x-Wert setzen wir in die ERSTE Ableitung y ' ein,
um die Steigung einer Wendetangente zu bekommen-
Wir finden::
y ' (xW) = - 2 * e ^ ( - 3 / 2 ) , unabhängig von k,
das heisst:
Alle Wendetangenten der gegebenen Schar sind unter sich parallel.
Damit sind zwei Rosinen herausgepickt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. März, 2001 - 07:21: |
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Hi Carsten,
Bei der Formulierung Deiner Aufgabe sind ein paar Druckfehler
zu berichtigen
1. Am Anfang muss es heissen fk: y = ... statt x = ...
2. Unter Punkt 2. muss es richtig heissen:
"für alle k ein endlicher Inhalt Ik" statt "unendlicher".
Wir wollen nun Ik berechnen.
Eine Stammfunktion F(x) von f(x) lautet:
F(x) = - 2 k x * e ^ (- x / k ) - 3 * k ^ 2 * e ^ (- x / k)..........................(1)
Die Integration gelang mittels der Methode der
partiellen Integration, indem
u' = e^(-x/k) , u = - k e ^(-x/k) ; v = (2x + k) , v' = 2
gesetzt wurde.
Wir ermitteln zuerst das bestimmte Integral dazu
mit unterer Grenze null und der positiven oberen Grenze M.
Wir erhalten aus (1) eine Funktion G(M ) der oberen Grenze M:
G(M) = - 2 k* M * e ^ (- M / k) - 3 k^2* e ^(- M / k) + 3* k^2..........(2)
Das bestimmte Integral Ik mit der unteren Grenze null und der
oberen Grenze plus unendlich existiert als Grenzwert von G(M)
für M gegen plus unendlich und hat den Wert
Ik = 3 * k ^ 2 ;
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alle e-Potenzen in (2) streben gegen null
für M gegen plus unendlich, wie leicht einzusehen ist.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. März, 2001 - 07:53: |
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Hi Carsten,
Zur Ergänzung noch folgendes:
Gemäss der Aufgabenstellung sollte man als untere Grenze
im bestimmten Integral nicht null wählen, sondern die Nullstelle,
von fk(x), welche sich bei x = xo = - k/2 befindet.
Wählt man diesen Wert als untere Grenze und nach wie vor M als
obere Grenze, so kommt:
G(M) = - k * e ^ ( -M / k)*( 3 k +2 M ) + 2 k^2 * e ^ ½
Für M gegen plus unendlich wird daraus:
Ik = 2 k ^ 2 * e ^ ½
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Carsten Lindemann (Carlinde)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 18:45: |
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Vielen Dank!!! Du hast mir sehr geholfen!
:-) |
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