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Alex
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 17:16: | 
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ein zylinderförmiger Glas ist zu 2/3 gefühlt.durch drehungen entsteht ein kegelförmiger hohlraum im glas und das Wasser wird an die Seitenwand gedrückt (Zentrifugalkraft) darf aber nicht rausspritzen.das glas wird so schnell gedreht bis der wasserstand der höhe des glases entspricht. wie heißt die zugehörige funktion der kegels? die aufgabenstellung klingt kompliziert, ist aber leicht zu verstehen. Danke |
Xam
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 18:21: |
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Volumen des Kegels:
1/3*G*h
G=Grundfläche h = Höhe des Kegels
Volumen Glas :
G*H H=Höhe des Glases
1/3*G*H =1/3*G*h
=> H=h
Nullpunkt in Glasmitte:
r= Radius des horizontalen Kegelschnittes(Kreis)
r=Wurzel(x^2+y^2)
z=const*r
z=H/R *r
R=Radius des Glases
z=H/R*Wurzel(x^2+y^2)
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Alex
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 19:37: |
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Mir ist ein fehler unterlaufen. es ist kein kegel sondern eine Funktion 2 grades die um die y achse gedreht wird und somit diese figur ergibt. also f(x)=ax+c
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Xam
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. August, 2002 - 20:55: |
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Hallo Alex!
Die Funktion soll also y=ax^2+b heissen, also eine Parabel sein, was physikalisch auch zutrifft!
Das Volumen des Paraboloides soll 1/3 des Glases sein
Wie kann man das Volumen des Paraboloides berechnen?
Ich hab drei Varianten ausprobiert, die alle möglich sind:
1.) Variante
Formel aus Formelsammlung
(Paraboloid in Kreisscheiben zerlegen)
Volumen eines Rotationskörpers
V=pi*int(f(x)^2)dx
Dazu musst Du zuerst die Umkehrfunktion
y=Wurzel((x-b)/a))
bilden, dann von b bis H integrieren
(b Scheitelhöhe, H Glashöhe)
Dieses Volumen mit 1/3*Glasvolumen=
1/3*pi*R^2*H
gleichsetzen b in Abhängigkeit von a ausrechnen
a erhälst Du, wenn Du
y=a*R^2+b=H verlangst.
2.)Variante
Paraboloid in Zylinder um die y-Achse zerlegen:
V=int(Mantelfläche vom Zylinder im Abstand x)dx=
int(x^2*pi*(H-f(x))dx von 0 bis R integrieren
Weiter genauso wie bei 1.)
Und die einfachste und eleganteste!!:
3.) Variante
Flüssigkeit in Zylinder unterteilen,
Zylinderflächen integrieren:
V=int(2*pi*x*f(x))dx von 0 bis R
soll sein 2/3*R^2*pi*H !!
V=2*pi*int((ax^3+bx)dx (0->R)
Stammfunktion:
2*pi*(a/4*x^4+b/2*x^2)
V=
2*pi(a/4*R^4+b/2*R^2)
= 2/3*pi*R^2 (2/3*Glasvol.)
daraus folgt
b=2/3*H-a/2*R^2
y=a*x^2+2/3*H-a/2*R^2
aus y=H für x=R
H= a*R^2^2+2/3*H-a/2*R^2
a*R^2/2=1/3*H
a=2/3*H/R^2
also
y=(H/3)(2*(x^2/R^2)+1)
Bei beiden anderen Varianten ist die Berechnung von a und b ungleich schwieriger!
Mfg |
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