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Grenzwertberechnung

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Folgen und Reihen » Archiviert bis 20. Oktober 2002 Archiviert bis Seite 4 » Grenzwertberechnung « Zurück Vor »

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missi (missi)
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Junior Mitglied
Benutzername: missi

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 19:10:   Beitrag drucken

Kann mir bitte jemand erklären, wie man Grenzwerte berechnet? Woran erkennt mann, ob eine Folge divergent oder konvergent ist?
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DULL (dull)
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Mitglied
Benutzername: dull

Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 14:59:   Beitrag drucken

Hi Missi,

leider kann man nicht jeder Folge auf den ersten Blick ansehen, ob sie einen Grenzwert besitzt. Man muss sich sogar noch an der Uni damit rumschlagen, Kriterien zu finden, anhand derer sich nachweisen lässt, ob eine Folge konvergent ist.
Falls du zu speziellen Folgen Fragen hast, wäre es einfacher auf deinen Beitrag einzugehen.

gruß, DULL
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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missi (missi)
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Mitglied
Benutzername: missi

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 15:59:   Beitrag drucken

Also z.B. die Folge=(3n+1)/n²
Die hatten wir schon im Unterricht und wir haben gesagt, da der Grad (2) unten größer ist als oben, ist der Grenzwert=0
Bei einer anderen hatten wir z.B. oben einen Exponentialausdruck und unten eine Potenz und weil es dazu irgendwelche Gestze gibt, die aussagen, was ist ,wenn oben und unten Potenz oder Exp. oben und unten Potenzausruck vorhanden ist, haben wir dann eben herausgefunden, ob die Zahlenfolge divergent oder konvergent ist, nur weiß ich jetzt eben nichz mehr, wie diese Gesetze lauten.
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Aktienklaus
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 24. August, 2002 - 21:29:   Beitrag drucken

Hi Missi,

Eine Regel besagt, dass eine Exponentialfunktion schneller wächst als eine Potenzfunktion. Ist eben so!
Daher streben Funktionen, bei denen der Zähler eine Exponentialfunktion und der Nenner ein Potenzausdruck ist, gegen null. Sie sind demnach konvergent. Andersrum wären sie divergent, streben also gegen unendlich.

Für (3n+1)/n^2 gilt:
n ausgeklammert liefert:
(n*(3+1/n))/n*n
gekürzt:
(3+1/n)/n

Da 1/n für n gegen unendlich gegen Null strebt, kann man diesen Summanden für große n vernachlässigen.
Es bleibt nur noch 3/n;
dies strebt für große n gegen null.
Also ist die Folge konvergent (o)!

Gruß Klaus
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DULL (dull)
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Benutzername: dull

Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. August, 2002 - 08:23:   Beitrag drucken

Hi Aktienklaus, hi missi,

"eine Regel besagt, dass eine Exponentialfunktion schneller wächst als eine Potenzfunktion. Ist eben so!"

Dies klingt für mich nicht soo überzeugend. Wenn ich es nachher noch schaffe, werde ich mal einen Beweis reinsetzen

"Daher streben Funktionen, bei denen der Zähler eine Exponentialfunktion und der Nenner ein Potenzausdruck ist, gegen null."

Das stimmt leider auch nicht. Da eine Exponentialfunktion schneller wächst, geht eine folge natürlich gegen Null, wenn der Exponentialausdruck im Nenner steht.

Gruß, DULL

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Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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DULL (dull)
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Benutzername: dull

Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. August, 2002 - 09:26:   Beitrag drucken

Also, nach der taylor-Reihenentwicklung gilt:

ex = Sunendlich i=0 xi/i!

das gilt für x element aus R, also auch für x element aus N.

Nun kann man alle potenzfunktionen durch "Polynome unendlichen Gerades" ausdrücken. Durch ähnliches Ausklammern, wie Aktienklaus es vorgeschlagen hat, ergibt sich nun, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede potensfunktion endclichen Gerades.

gruß, DULL
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missi (missi)
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Benutzername: missi

Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. August, 2002 - 14:12:   Beitrag drucken

Vielen Dank für eure Hilfe!
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cathy
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 15:06:   Beitrag drucken

hallo, ich brauche dringend Hilfe zum Thema
Grenzwertsätze! Bsp.Aufgaben: limx->oo 2x-3/2-x
oder limx->3 x³-3x²-2x+6/(2x-6)(x-4) oder
limx->0 ((1-x/x)*(2x³+x/1+x)*(3x²+x/x))

ich hoffe jemand von euch kann mir den Lösungsweg
erklären, ich seh da überhaupt nicht mehr durch!!
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K
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 22:33:   Beitrag drucken

Hi Missi,

Eine Regel besagt, dass eine Exponentialfunktion schneller wächst als eine Potenzfunktion. Ist eben so!
Daher streben Funktionen, bei denen der Zähler eine Exponentialfunktion und der Nenner ein Potenzausdruck ist, gegen null. Sie sind demnach konvergent. Andersrum wären sie divergent, streben also gegen unendlich.

Für (3n+1)/n^2 gilt:
n ausgeklammert liefert:
(n*(3+1/n))/n*n
gekürzt:
(3+1/n)/n

Da 1/n für n gegen unendlich gegen Null strebt, kann man diesen Summanden für große n vernachlässigen.
Es bleibt nur noch 3/n;
dies strebt für große n gegen null.
Also ist die Folge konvergent (o)!
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M
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 22:34:   Beitrag drucken

Kann mir bitte jemand erklären, wie man Grenzwerte berechnet? Woran erkennt mann, ob eine Folge divergent oder konvergent ist?
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Jan-Martin
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Oktober, 2002 - 16:18:   Beitrag drucken

Hallo DULL,

Kannst du mir bitte näher beschreiben, wie sich aus der Formel
ex = Sunendlich i=0 xi/i!

durch Ausklammern ergibt, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion endlichen Grades?


ohne weitere Beschreibung komme ich damit nicht weiter, z.B. wenn ich zeigen will, dass ex > x² für x --> unendlich gilt.

Aus der Formel kann ich nur entnehmen, dass
ex = x0/0! + x1/1! + x2/2! + r ist, wobei r ein Rest mit r>0 ist, so dass sich also nach Weglassen dieses positiven Restes r als Ungleichung ergibt:

ex > x2/2,
aber ich möchte ja zeigen, dass
ex > 2*x2/2 = x² für x --> unendlich gilt.


Woher kann ich den fehlenden Faktor 2 herbekommen?
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DULL (dull)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: dull

Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Oktober, 2002 - 18:56:   Beitrag drucken

Hi Jan-Martin,

Du hast sicherlich mal einige "Grundgrebzwerte" behandelt, etwa: lim(x->oo)1/x=0
Darauf lässt sich das oben beschriebene zurückführen.

nehmen wir mal ein besispiel:

e^x/x^2
= [x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3!...]/x^2 |Zähler und Nenner durch x^2 teilen
= [ 1/(x^2*0!) + 1/(1!*x) + 1/2! + x/3!+...]/1

Nun kannst Du sehen, dass die Ersten 3 Summanden des Zählers gegen einen Grenzwert (0 bzw. 1/2) strebt, aber alle anderen Summanden über alle Grenzen wachsen, der Zähler also unendlich groß wird. Der Nenner nimmt den konstanten Wert 1 an. Also strebt der gesamte Ausdruck gegen keinen Grenzwert, sondern wächst über alle Grenzen. Es spielt demnach keine Rolle, wie hoch k beim x^k ist, die e-Funktion wächst im Unendlichen immer schneller (man teilt einfach immer Zähler und nenner durch x^k).

Gruß, DULL
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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Jan-Martin
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Oktober, 2002 - 21:17:   Beitrag drucken

Hallo DULL,

ich danke dir für das Beispiel.
Das Ausklammern geht ja genauso, wie du es angekündigt hast, aber ich habe es einfach nicht gesehen.

Man hilft sich zum Beweis also sozusagen damit, dass in e^x immer eine um eins höhere Potenz von x steckt, als die, die man zum Vergleich vorgibt.


übrigens: toller Spruch, der mit dem Spielzeug.
auf mich passte gerade eher dieser hier:

O glücklich, wer noch hoffen kann
Aus diesem Meer des Irrtums aufzutauchen!
Was man nicht weiß, das eben brauchte man,
Und was man weiß, kann man nicht brauchen.

<von wem wohl>
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wolke
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Oktober, 2002 - 11:37:   Beitrag drucken

Wenn das so einfach wäre, hätte man einen Beweis, dass ie Euler-Mascheroni-Konstante irrational oder rational wäre.

Das ist UNBEWIESEN.

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