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Beitrag |
    
Filipao
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 14:00: | 
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Hallo,
ich brauche dringend Hilfe bei folgenden Aufgaben.
1. Bilde die Ableitungsfunktion f' der wurzelfunktion f(x)=Wurzel x nur unter Benutzung der Definition des Differentialquotienten.
2. Verkette die Funktionen f und g und bestimme dann die Ableitungsfunktion (g o f)':
a) f(x)= 5x-1 g(x)= x²+2x+1
b) " = 2x+3 " = Wurzel x
c) " = x+1 " = 1/x
d) " = 1/x " = x²+10
e) " = Wurzel x " = Wurzel x
3. Finde und beweise eine formel für die erste Ableitungsfunktion der Produktfunktion f0u mal v mal w, also für eine Funktion, die aus drei Faktoren aufgebaut ist. |
Scol
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 16:36: |
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HHHHIIIILLLLFFFEEE!!!!! |
Olaf II
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 16:40: |
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Hallo Filipao!
Zu 3.)
y=u*v*w
ln(y)=ln(u*v*w)
ln(y)=ln(u)+ln(v)+ln(w)
Weil:
d
-(ln(y))=y´/y
dx
(klar,warum?)
Deshalb:
y´/y=u´/u+v´/v+w´/w
y´=(u´/u+v´/v+w´/w)*y
y`=(u´/u+v´/v+w´/w)*u*v*w
y´=u´*v*w+v´*u*w+w´*u*v
Gruß,Olaf II
PS:Wenn ich noch die Zeit finde,mache ich den Rest auch noch!
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Karl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 17:20: |
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Hey,
Zu 1.) Bedeute s(x)= sqrt(x) = Wurzel(x)
(s(x+h)-s(x))/((x+h)-(x)) = (s(x+h)-s(x))/((s(x+h)-s(x))*(s(x+h)+s(x))) (3. binom. Formel)
=(kürzen) 1/(s(x+h)+s(x))
Jetzt noch den Grenzwert h->0: = 1/(s(x)+s(x))
=1/2*Wurzel(x), wie es sein soll.
Zu 2.) Ich mach mal nur b als Beispiel, die anderen gehen analog: g°f heißt, setze den Ausdruck für f (2x+3) in g (Wurzel (x))an Stelle von x, also (g°f)(x) = Wurzel(2x+3). Zur Ableitung verwende die Kettenregel: (g°f)'(x)=
g'(aber mit dem Ausdruck von f (2x+3) statt nur x)
*f'(x). Hier also: (g°f)'(x) = 1/2*Wurzel(2x+3) * 2.
Gruß Karl
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Filipao
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 17:44: |
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Könntest Du vielleicht den Rest lösen, weil ich es echt nicht kapiere |
Karl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 18:08: |
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2)a) g=x^2+2x+1 = (x+1)^2, f=5x-1 -> einsetzen:
(g°f)(X)= (5x-1+1)^2 = (5x)^2 =25x^2
->(g°f)'(x)=50x
c)g=1/x, f=x+1 -> einsetzen: (g°f)(x)=1/(x+1)
-> (g°f)'(x) = -1/(x+1)^2
d)g=x^2+10,f=1/x -> einsetzen: (g°f)(x)= 1/x^2+10
->(g°f)'(x)= -2/x^3
e)g=Wurzel(x),f=Wurzel(x) -> einsetzen:
(g°f)(x)= (x^(0.5))^(0.5)= x^(0.25)-> (g°f)'(x)=
0.25/x^(0.75)
Gruß Karl |
Filipao
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 18:46: |
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DANKE!!!! |
DULL (dull)
Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 14:54: |
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Hi Filipao,
hier noch ein anderer (aus meiner Sicht verständlicherer) Weg für 3.
ganz leicht ist es, wenn du zwei Faktoren zu einem neuen zusammenfasst:
(z.B a:=v*w --> a'=v*w'+v'*w)
f(x)=u*v*w=u*a
=>f'(x)=u*a'+a*u'
nun wieder einsetzen:
f'(x)=u*(v*w'+v'*w)+v*w*u'
=u´*v*w+v´*u*w+w´*u*v (siehe Olafs Lösung)
Vielleicht hilft es ja noch!
Gruß, DULL
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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