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Sven (sven5)
Neues Mitglied
Benutzername: sven5
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 23:22: | 
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Ich bin in der 12.Klasse und komme bei der HA nicht zurecht.
In der Schule hab ich den Flächeninhalt unter der Normalparabel im Intervall [0;1] gemacht, wie folgt:
Untersumme n = 1/n*(1/n)²+1/n*(2/n)²+1/n*(3/n)²+...+1/n*(n-1/n)²
Untersumme n = 1/n³*(1²+2²+3²+...(n-1)²)
Obersumme n = 1/n*(1/n)²+1/n*(2/n)²+1/n*(3/n)²+...+1/n*(n-1/n)²+1/n*(n/n)²
Obersumme n = 1/n³*(1²+2²+3²+...(n-1)²+n²)
Es gibt die Summen Formel: 1²+2²+3²+...+k²=1/6*k*(k+1)*(2k+1)
also Untersumme n = 1/n³*1/6*(n-1)*n*(2*(n-1)+1)
= 1/n³*1/6*(n-1)*n*(2n-1)
= 1/6*(1-1/n)*(2-1/n)
und Obersumme n = 1/n³*1/6n*(n+1)*(2n+1)
= 1/6*(1+1/n)*(2+1/n)
lim Untersumme = 1/6*1*2= 1/3
n gegen unendlich
lim Obersumme = 1/6*1*2= 1/3
n gegen unendlich
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt 1/3.
Nun meine Frage, ich soll jetzt den Flächeninhalt unter der Normalparabel über dem Intervall [0;2] bestimmen. Kann mir jemand dabei helfen?
Viele grüße Sven |
DULL (dull)
Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 08:13: |
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Hi Sven,
die Aufgabe in dem gegebenen Intervall ist ganz analog zu der Aufgabe, die du als Beispiel aufgeschrieben hast. Ich zeige jetzt nur für die Untersumme wie es funktioniert:
Untersumme n = 1/n*(1/n)^2 + 1/n*(2/n)^2 + ... + 1/n*(n/n)^2 + .... + 1/n*((2*n-1)/n)^2
Du "zerstückelst" also wieder den Bereich zwischen 0 und 1 in n Teile, musst aber bis 2 gehen, also bis 2*n-1 Teile (minus 1, weil es ja die Untersumme sein soll)
untersumme n= 1/n^3*(1^2+2^2+3^2+...+(2n-1)^2)
Du hast also wieder eine Summe von Quadratzahlen, aud die man die von dir oben benannte Formel mit k= 2n-1 anwenden hann
--> Untersumme n= (2n-1)*2n*(2*(2n-1)+1)/(6*n^3) = (4*n^2-2*n)*(4*n-1)/(6*n^3) = (16*n^3 - 12*n^2-2*n)/(6*n^3)
Nach der Grenwertbildung ergibt sich:
Utersumme n= 16/6 = 8/3
Analog verfährst du mit der Obersumme und du wirst sehen, dass jeweils das gleiche Ergebnis rauskommt. Also ist der Flächeninhalt 8/3 FE.
Gruß, DULL
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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