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mastermail
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. August, 2002 - 20:18: | 
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Hallo,
ich hab da mal 'ne kleine Frage.
wann ist eine Matrix diagonalähnlich oder
orthogonal oder regulär?
Orthogonal ist sie glaub ich wenn für die Matrix A folgendes gilt:
AT = A-1 ,richtig ?
Aber wie ist das bei den anderen Sachen ?
Muß ich unbedingt wissen.
Schonmal vielen Dank im Vorraus.
Gruß Chris |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 350
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. August, 2002 - 21:55: |
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Hi mastermail
Diagonalmatrix:
Beispielsweise hast du die Matrix A. Dann können nur auf der Diagonalen Werte stehen. Alle anderen Einträge sind 0. Sind also die Einträge mit aij bezeichnet, können nur Werte angenommen werden für i=j. Beispiel:
1 0 0
0 2 0
0 0 7
Bei der orthogonalen Matrix hast du recht. Regulär heißt einfach nur, dass die Matrix invertierbar ist. Eine Matrix A ist also regulär, wenn eine Matrix A^(-1) existiert mit
A*A^(-1)=1
MfG
C. Schmidt |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. August, 2002 - 12:50: |
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Hi,
eine Matrix A heißt diagonalähnlich (also ähnlich zu einer Diagonalmatrix), wenn eine Matrix C existiert so dass:
C*A*C^(-1) = Diagonalmatrix.
gruß clara |
mastermail
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. August, 2002 - 14:03: |
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Hi Christian !
Vielen Dank Deine Antwort hat mir sehr geholfen.
Trotzdem hab ich noch ein paar kleine Fragen.
1. Eine Matrix ist doch auch regulär wenn alle
Eigenwerte ungleich null sind, oder ?
Das würde ich echt gerne wissen weil ich dann
nicht erst die Inverse Matrix ausrechenen muß
und das spart viel Zeit.
2. Gibt es noch einen einfacheren Weg
festzustellen ob eine Matrix orthogonal ist ?
3. Was meinst Du mit A*A^(-1)= 1 ?
Wenn ich das ausrechne erhalte ich doch 'ne
Matrix.
Oder ist eine Matrix = 1 wenn auf der
Diagonalen Einsen stehen ? Dann versteh
ich das.
4. In meinen Heft hab ich stehen das eine Matrix
diagonalähnlich ist, wenn ihre
Eigenwerte (EW) verschieden sind.
z.B. 1, 0, 7
Müssen alle Eigenwerte verschieden sein oder
gilt dies auch wenn z.B. die EW's 1, 1, 3
sind ?
Wäre echt super wenn du mir das auch noch sagen könntest.
Gruß Chris |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 352
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. August, 2002 - 14:19: |
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Hi mastermail
Also erstmal schnell zu 3. , den Rest schau ich mir später an.
Mit 1 hatte ich wie du schon festgestellt hast, die Matrix gemeint, bei der auf der Diagonalen Einsen stehen. Hatte die 1 dafür fett geschrieben. Ich hätte aber trotzdem besser dabeigeschrieben was gemeint ist.
MfG
C. Schmidt |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. August, 2002 - 17:24: |
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Hi,
meine Definition für diagonalähnlich ist schon richtig, aber natürlich gibt es Kriterien, wann sie diagonalähnlich ist. Eines dieser Kriterien ist:
Ist A eine nxn-Matrix und hat A n verschiedene Eigenwerte, dann ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix.
Ich weiss ja nicht wieviel Du wissen willst:
Falls die algebraische Vielfachheit eines EW größer ist als 1 (=Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom), dann muss eine Matrix nicht diagonalisierbar (= diagonalähnlich) sein. Sie ist es aber dann, wenn die Dimension der entsprechenden Eigenräume gleich der entsprechenden algebraischen Vielfachheit ist).
Ich hoffe, du kannst mit den Begriffen was anfangen.
Ich weiss nicht welchen Weg Du für Orthogonalität im Kopf hast, aber folgender ist schon recht einfach.
Sei A gegeben. Bilde A(transponiert). Berechne:
A*A(transponiert), wenn dies die Einheitsmatrix ist, dann ist A orthogonal.
Es richtig, dass eine Matrix regulär ist, wenn sie nicht den EW null hat, weil dann ja der Kern trivial ist.
gruß clara |
mastermail
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 10:14: |
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Hi Clara !
Vielen Dank für Deine ausführliche Erklärung.
Also wenn ich das richtig verstanden habe, und
das alles was Du geschrieben hast richtig ist,
dann habe ich mit meinen Vermutungen bei
Frage 1 und 4 recht gehabt.
Nur den letzten Statz versteh ich nicht so ganz.
Da hast Du geschrieben: ...wenn sie nicht den EW
null hat. Damit meinst Du aber alle Eigenwerte, oder? Und was heißt trivial und
welchen Kern meinst Du ?
Gruß Chris |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 10:43: |
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Hi Chris,
so wie du es vermutlich meinst, hast du mit deinen Ausführungen recht. Ich bin wegen der Genauigkeit der Mathematik in den Formulierungen nur etwas vorsichtig. Z.B. an der Stelle wo Du schreibst, dass eine Matrix diagbar ist, wenn alle EW verschieden sind. Das ist nicht ganz richtig. Wenn man eine 4x4 Matrix hat, die die EW 1 und 2 hat, dann sind 1 und 2 natürlich verschieden, aber sie muss nicht diagbar sein. Sie muss eben 4 verschiedene EW haben.
Wenn eine Matrix nun überhaupt keinen EW hat, dann hat sie insbesondere auch nicht Null als EW und ist invertierbar.
Zu trivial und Kern:
Eine nxn Matrix kann man auch als Abbildung des R^n in den R^n auffassen und diese Abbildung hat einen Kern. Wenn der Kern nur aus der Null (dem Nullvektor) besteht, sagt man dass der Kern trivial ist und die Abbildung ist dann injektiv. In diesem Fall ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv ist. Es existiert also die Umkehrabbildung und das ist gerade die inverse Matrix.
Falls du was nicht verstehst, einfach nachfragen.
gruß clara
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mastermail
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 11:27: |
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Hi Clara !
Echt klasse das Du mir so schnell zurück geschreiben hast. Aber ich muß dich leider
trotzdem nochmal stören.
Ich hätte mich eben nur etwas besser ausdrücken
müssen. Ich gib Dir mal ein Beispiel, ok ?
Ich habe eine Matrix A die so aussieht:
4 0 -3
0 1 0
-4 0 3
die Eigenwerte sind 1, 0 und 7.
Folgenden Satz vermute ich:
Diese Matrix ist diagähnlich weil alle drei
Eigenwerte verschieden sind.
Ist diese Aussage richtig ? Da brauch ich nur ein
"Ja" oder "Nein"
2.) Eine nxn-Matrix ist regulär wenn n Eigenwerte
ungleich null sind.
Ist diese Aussage auch richtig ? Ebenfalls nur Ja
oder nein, reicht mir schon.
Das mit dem regulär muß ich deswegen so genau
wissen, weil eine Matrix, wenn sie nicht regulär
ist auch nicht orthogonal ist.
Gruß Chris |
mastermail
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 11:49: |
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Hi,
Vielleicht wäre es besser wenn man sich mal im
Zahlreich-Chat trifft, dann kann man besser,
kommunizieren, was meinst du ?
Wenn ich was nicht verstanden habe kann ich
direkt nachfragen, das wäre viel besser.
Gruß Chris |
mastermail
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 15:39: |
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Hallo,
wer kann meine oben stehende Vermutung
überprüfen und mir sagen ob das richtig ist?
Gruß Chris !! |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 17:28: |
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Hi Chris,
auf beide Aussagen gibt es ein ja.
Wenn die Determinante einer Matrix Null ist, ist sie auch nicht orthogonal.
Ich wusste gar nicht, dass Zahlreich einen Chat hat.
gruß clara |
mastermail
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 17:52: |
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Hi Clara !
Danke für Deine Antwort und auch für den Tipp
mit der Determinante der ist echt genial, hättest
du mir mal füher sagen müssen.
PS.: Den Chat erreichst Du über "Dialog".
Gruß Chris
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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 18:28: |
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Hi Chris,
dann hättest du früher eine andere Frage stellen müssen.
Bei 3x3 Matrizen wird dieses Verfahren auch wohl noch recht einfach sein, aber bei größeren würde ich fast sagen, dass das obige (transponierte bilden und multiplizieren) einfacher ist und die Aussage ist dann auch stärker. Mit der Determinante kann man ja nur sagen, dass die Matrix sicherlich nicht orthogonal ist, aber wenn die Determinante nicht Null ist, weiss man noch nicht, ob sie orthogonal ist.
gruß clara |
mastermail
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 19:25: |
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Hi Clara !
Gut, dass Du das nochmal mit der Determinante
gesagt hast. Ich dachte, wäre sie ungleich Null
ist die Matrix in jeden Fall orthogonal.
Eine Matrix ist jedenfalls nicht orthogonal
wenn nicht regulär ist.
Aber ist sie orthogonal wenn sie regulär ist ?
Weißt Du das ?
gruß Chris |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 358
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 19:36: |
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Hi mastermail
Aber ist sie orthogonal wenn sie regulär ist ?
Nein!
Wenn du eine Matrix A hast, die regulär ist, dann gibt es eine andere Matrix A^(-1) mit A*A^(-1)=1.
Gilt zusätzlich noch A^(-1)=A^T, dann ist die Matrix orthogonal.
Die Umkehrung gilt übrigens. Ist eine Matrix orthogonal, so ist sie regulär, weil A^T die inverse Matrix ist.
MfG
C. Schmidt |
