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Beitrag |
    
Junia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. August, 2002 - 17:39: | 
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Hallo liebe Mathe4uer
Ich habe schwirigkeiten bei einer Extremwertaufgabe... Es geht um eine Kirche bzw. um ein Rundbogenfenster.Wir sollen eine möglichst große Fläche mit Metall umrahmen. Der Umfang beträgt 6m (gesucht ist die maxiamale Fläche)
Es wäre super lieb, wenn ihr mir weiterhelfen könntet...eure Junia |
Roland (excalibur81)
Mitglied
Benutzername: excalibur81
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. August, 2002 - 08:44: |
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Hi Junia
Stell dir vor, du hast einen beweglichen Rahmen mit 6m Länge. Jetzt versuchst du, so viel Fläche wie möglich hineinzu"quetschen", was kommt dabei raus? ein Kreis!
Also ist die Fläche: A=p*r² und der Umfang 6m=2*p*r
also r=6m/2p
A = p*r² = p*(6m/2p)²
= 36m²/4p
= irgendwas wie 3m² (hab grad keinen Rechner da)
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Andi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. August, 2002 - 15:45: |
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Hi Roland,
könntest du das "... was kommt dabei raus? ein Kreis!" auch rechnerisch begründen? Also einen Beweis dafür geben, dass ein Kreis diejenige Figur ist, die die maximale Fläche bei gegebenem Umfang einschließt?
Gruß
Andi
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 144
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. August, 2002 - 16:45: |
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Hi,
f(r) = 2 r * pi = U
F(r) = r^2 * pi = A
f(a) = 4 a = U
F(a) = 2 * a^2 = 2 A
ich denke es muß hier gelten: Stammfunktion der Umfangsformel <= tatsächlicher Flächeninhaltsfunktion;
und das ist beim Kreis gegeben; analoges gilt für 3 dim. zwischen Oberfläche und Volumen;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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R.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. August, 2002 - 22:28: |
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Hi ihr!
Geht es hier nicht um ein Rundbogenfenster, also eher so eine Form:
______
|_____) ??
(Rechteck mit auf-/angesetztem Halbkreis)
Ich meine natürlich senkrecht, geht hier nur nicht anders...
Gruß R. |
anonym
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 12:14: |
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Walter hat seine eigenen Definitionen!
Bei ihm ist sogar ein Kreis ein Rundbogenfenster! |
Andi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 14:18: |
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Ja R.:
das wird wohl so sein, dass so eines gemeint ist.
anonym:
Aber was stört daran, unter dem Begriff "Rundbogenfenster" ebensogut einen Kreis verstehen zu können?
Ein kreisförmiges Fenster hat halt überall einen runden Bogen, solch ein Fenster:
_____
|____) nur an einer Seite.
Abgesehen von dieser Definitionsfrage habe ich in Walters Rechnung nicht verstanden, was das mit dem f(a) bedeuten sollte, oder war das der Teil, der verwirrt?
Gruß
Andi |
Junia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 16:00: |
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Hallo hier ist Junia...ja R. hat recht, dass ist ein Rundbogenfenster in seiner Abbildung...aber bitte hilft mir bei meiner Aufgabe ganz oben weiter ..ich verzweifle |
Andi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 16:37: |
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Hi Junia,
Es steht ein Rahmen der Länge u=6m zur Verfügung.
Damit soll ein Halbkreis und ein Rechteck umschlossen werden.
Wenn der Halbkreis den Radius r hat, dann bekommt er pr vom Umfang ab, das heißt, es bleibt u-pr für die drei Seiten des Rechtecks übrig, dessen eine Seite gleich 2r sein muss.
Damit bleibt noch u-pr-2r für die zwei anderen Seiten des Rechtecks zur Verfügung, für jede Seite also die Hälfte davon:
(u-pr-2r)/2 = u/2 - pr/2 -r
also sind die Größen:
Halbkreisradius: r
Rechtecks"breite": 2r
Rechtecks"höhe": u/2 - pr/2 -r
Der Flächeninhalt A der aus Rechteck und Halbkreis zusammengesetzen Figur ergibt sich dann als eine Funktion von r aus
Halbkreisfläche + Rechteckshöhe*Rechtecksbreite:
A(r) = pr²/2 + (u/2 - pr/2 -r)*2r
Dies ausmultiplizieren, die erste Ableitung A'(r) gleich 0 setzen und nach x auflösen ergibt den Wert für r, für den A maximal wird.
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Andi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 16:38: |
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Und wer erklärt mir jetzt, was es mit
f(a) = 4 a = U
F(a) = 2 * a^2 = 2 A
auf sich hat?
Gruß
Andi |
Junia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 14:55: |
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Ich weiß nicht ganz genau,wie ich das ausmultiplizieren soll? |
Torpedo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 19:19: |
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Was? |
Andi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 20:38: |
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A(r) = pr²/2 + 2r*u/2 - 2r*pr/2 -2r*r
= pr²/2 + ur - pr² -2r²
= ur-2r²-pr²/2
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Andi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 20:41: |
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wer erklärt mir das mit dem F(a) ?
Gruß
Andi |
Torpedo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 07:52: |
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Hallo Junia,
was sollst du denn ausmultiplizieren? |
Roland (excalibur81)
Mitglied
Benutzername: excalibur81
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 08:44: |
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Hi Leute
also zuerst mal zu meiner Antwort: ich habe angenommen, das Fenster könne jede beliebige Form haben. Dass ein Kreis die Form mit dem besten Fläche-Umfang-Verhältnis ist, ist leicht sich vorzustellen aber schwer zu beweisen.
Ich versuchs mal:
Nehmen wir eine Form mit der Fläche p m², das wäre z.B. ein Kreis mit Radius 1m
(man muss zeigen, dass von allen Formen mit gleicher Fläche ein Kreis den kleinsten Umfang hat)
Jetzt nehmen wir nicht einen Kreis, sondern eine Form, die aussieht wie aus vielen unterschiedlich großen Tortenstücken zusammengesetzt, die zusammen pm² Fläche haben. Als "Umfang" rechnen wir nur die Hinterkanten der Tortenstücke. Diese Form entwickelt sich aus dem Kreis, wenn man ihn in Tortenstücke zerschneidet und einzelne Stücke verlängert oder verkürzt. Weil die Verlängerten Stücke mehr an Fläche dazu erhalten als die gekürzten Stücke(ist das verständlich?), aber die Gesamtfläche gleich bleiben soll,
... moment, dann wird der Umfang kleiner...
ich wollte eigentlich, dass der Umfang größer wird...aargh!...
(Der nächste Schritt wäre, die Ränder der Tortenstücke mit einer "krummen" Linie zu verbinden, dadurch wird der Umfang wieder länger.)
ist wohl doch schwerer zu beweisen!
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 146
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 09:02: |
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Tja, unser anonymous is wieda mal a analphabet, ich hab nix von an Rundbogenfenster geschrieben, nur wie man erklärt dass der Kreis diejenige Figur ist, welche bei gleichem Umfang den größen Flächeninhalt hat;
Auch Mainzelmännchen wissen was a Rundbogenfenster is;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Roland (excalibur81)
Mitglied
Benutzername: excalibur81
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 13:07: |
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jetzt hab ich auch verstanden, was mainziman uns sagen will:
wenn man irgendeine Form hat mit einer festen Größe r, z.B. den Radius oder eine Seitenlänge, hat man eine Flächenfunktion A(r) und eine Umfangfunktion U(r)
Dabei gilt A'(r) <= U(r)
Bei einem Kreis ist A(r)=pr², A'(r)=2pr, U(r)=2pr, also A'(r) = U(r), das liegt daran, dass eine Tangente in jedem Punkt des Kreises senkrecht zum Radius liegt.
Bei einem Quadrat mit Seitenlänge a (das f(a) in mainzimans Rechnung) ist
A(a)=a² (Fläche des Quadrats)
A'(a)=2a (Ableitung davon)
U(a)=4a (Umfang des Quadrats)
also U(a) = 2*A'(a)
Da der Umfang und die Ableitung der Fläche proportional zum Radius oder der Seitenlänge sind, ist der Umfang minimal, wenn U(r)=A'(r), also beim Kreis.
Kommen wir zum Rundbogenfenster:
A(r) = ur-2r²-1/2pr²
A'(r) = u-(4+p)r != 0
also r = u/(4+p)
und h = u/2-pr/2-r
= u(4+p)/(8+2p) - pu/(8+2p) - 2u/(8+2p)
= (u(4+p)-pu-2u)/(8+2p)
= 2u)/(8+2p)
= r
Das Rechteck ist also doppelt so breit wie hoch. |
Andi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 14:31: |
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Walter:
die Torpedierungen einfach nicht beachten
(obwohl ich zugeben muss, dass von deinen Antworten verwirrt bin; war das hier dein Ziel ?)
Hi Roland,
mir fällt es schwer, drei deiner Aussagen so ohne weiteres anzuerkennen:
1) ... gilt A'(r) <= U(r)
2) A'(r) = U(r) liegt daran, dass eine Tangente in jedem Punkt des Kreises senkrecht zum Radius liegt
3) ... der Umfang ist minimal, wenn U(r)=A'(r)
Grúß
Andi |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 147
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 14:54: |
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Hi Andi,
keineswegs war das meine Absicht, es sollte ein konstruktiver Beitrag sein;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Roland (excalibur81)
Mitglied
Benutzername: excalibur81
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 19:37: |
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Hi Junia, Walter, Andi
Ich glaube, die ganze Theorie mit der Flächen- und Umfangsformel führt uns in die Irre.
Nehmen wir noch mal das Quadrat her und sagen, r sei die halbe Seitenlänge. dann ist A(r)=4r² A'(r)=8r, U(r)=8r=A'(r)
Walters und meine Theorie wäre damit widerlegt.
zu den Tangenten: ich habs mit ein paar Figuren nachgerechnet, das muss heißen: Wenn in jedem Punkt auf dem Rand der Figur, in dem es eine Tangente gibt, diese zum Mittelpunkt der Figur den Abstand 1 hat, ist die Ableitung der Fläche gleich dem Umfang.
(Man könnte auch sagen, in jedem Randpunkt muss das Skalarprodukt von Ortsvektor und Normaleneinheitsvektor gleich +-1 sein.)
Das funktioniert mit Kreis, Dreieck, Quadrat, regelmäßigen Sternen... bringt uns aber nicht weiter! |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 148
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. August, 2002 - 06:06: |
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Hi,
wie wäre es mit folgender Überlegung:
u = 2r + 2h + r*pi
=> h = (u - 2r - r*pi) / 2
A = 2r*h + r^2*pi/2
=> A = r*(u - 2r - r*pi) + r^2*pi/2
f(r) = r*(u - 2r) - r^2*pi/2
f'(r) = u - 4r - r*pi
f'(r) = 0
=> u - 4r - r*pi = 0
(4+pi)*r = u
r = u/(4+pi)
f''(r) = - 4 - pi => max.
r = u/(4+pi)
=> r = 0,84 m => die breite = 1,68 m
h = (u - 2r - r*pi) / 2
=> h = 0,84 m => die gesamte höhe = 1,68 m
Anmerkung: r und h sind gerundet und zufällig auf 2 bzw. 3 Stellen ident, nicht aber auf mehr Stellen;
Probe:
u = h + h + b + b*pi/2
u = 0,84 + 0,84 + 1,68 + 1,68*pi/2 = 6 m
A = h * b + b^2*pi/2
A = 0,84 * 1,68 + 1,68^2*pi/2 = 5,8446 m^2
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. August, 2002 - 10:41: |
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Hi,
wenn man nirgends rundet kommt für h dasselbe wie für r raus, nämlich 6/(pi+4).
gruß clara |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 149
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. August, 2002 - 11:08: |
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Hi clara,
r = u/(4+pi) = 6/(4+pi)
h = (u - 2r - r*pi) / 2 = (6 - 12/(4+pi) - 6*pi/(4+pi) ) / 2
h = (6*(4+pi) - 12 - 6*pi) / (2 * (4+pi))
h = (24 + 6*pi - 12 - 6*pi) / (2 * (4+pi))
h = 12 / (2 * (4+pi)) = 6/(4+pi)
Kommt vor wenn ma nit exakt rechnet. Stimmt natürlich - gemeiner Zufall.
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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