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Dana
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 16:07: | 
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HI! Ich Benötige Hilfe bei diesen Aufgaben. Kann mir da jemand weiterhelfen?
1) Gegeben sind die Punkte A(1/2/3), B(5/0/-1),
D(-1/6/-1).
a) Zeige, dass es einen Punkt C gibt, für den das Viereck ABCD ein Quadrat ist und bestimme die Koordinaten von C.
b) Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Höhe 6; der Fußpunkt der Höhe ist der Mittelpunkt dieses Quadrates. Bestimme die Koordinaten der beiden möglichen Pyramidenspitzen S und S'.
Ich fände es echt klasse, wenn mir jemand helfen könnte. Danke. |
Conrad Groth (Conradsh)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 16:58: |
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1a)
Vektor AB = B - A = (4/-2/-4)
Vektor AD = D - A = (-2/4/-4)
Länge des Vektors AB = Wurzel( 4² + (-2)² + (-4)² ) = 6
Länge des Vektors AD = Wurzel( (-2)² + 4² + (-4)² ) = 6
Da wir nun wissen, dass die beiden Vektoren die gleiche Länge haben, müssen wir nur noch zeigen, dass sie senkrecht aufeinander stehen, damit wir ein Quadrat erhalten.
cos w = (AB * AD)/(|AB| * |AD|) = (4/-2/-4)*(-2/4/-4)/(6*6) = 0
=> w = 90°
Ich hoffe, das Skalarprodukt ist bekannt.
C = B + AD = (3/4/-5)
b)
Mittelpunkt der Grundfläche:
M = A + 0,5*AB + 0,5*AD = (2/3/-1)
Höhenvektor:
Dieser muss senkrecht auf AB und AD stehen:
AB * MS = 0
=> (4/-2/-4) * (hx/hy/hz) = 0
=> 4*hx - 2*hy - 4*hz = 0 [I]
AD * MS = 0
=> (-2/4/-4) * (hx/hy/hz) = 0
=> -2*hx + 4*hy - 4*hz = 0 [II]
[I]-[II]: 6*hx - 6*hy = 0 => hx = hy
in [I]: 4*hx - 2*hx - 4*hz = 0 => hx = 2*hz
hx = 1 => hy = 1 => hz = 0,5
MS = (1/1/0,5)
|MS| = Wurzel(1² + 1² + 0,5²) = Wurzel(2,25) = 1,5
4*MS = (4/4/2)
|4*MS| = 6
Wir müssen den Höhenvektor MS mit 4 multiplizieren, damit er die Länge 6 hat.
S = M + MS = (2/3/-1) + (4/4/2) = (6/7/1)
S' = M - MS = (2/3/-1) - (4/4/2) = (-2/-1/-3)
So weit, so gut.
Falls Fragen, dann fragen (per mail).
Angaben ohne Gewähr. |
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