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Martin (mellek)
Neues Mitglied
Benutzername: mellek
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. August, 2002 - 14:04: | 
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Hallo!
Ich habe mal wieder ein Problem mit einem linearen Gleichungssystem:
3*x1 + 4*x2 - x3 = 30
2*x1 - x2 + 2*x3 = -1
x1 + 2*x2 + a*x3 = 11
Bestimmen Sie die Lösbarkeit (=Zahl der Lösungen)des Systems je nach Wahl von a aus R.
Offensichtlich habe ich bei derartigen Aufgabenstellungen ziemliche Schwierigkeiten. Es wäre nett, wenn mir jemand den ausführlichen Rechenweg dazu angeben könnte.
Vielen Dank im Voraus
Martin |
Thomas (johnnie_walker)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 66
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. August, 2002 - 15:17: |
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Hallo Martin,
Stelle eine Koeffizientmatrix auf :
3 4 -1 30
2 -1 2 -1
1 2 a 11
und bringe diese mit dem Gauß-Verfahren auf Zeilenstufenform. Mit dem a kannst Du zunächst rechnen wie mit einer reellen normalen Zahl, nur wenn Du durch a teilst, musst Du a ungleich 0 voraussetzen.
1. Schritt Ineu = Ialt/3
1 (4/3) -(1/3) 10
2 -1 2 -1
1 2 a 11
2. Schritt
IIneu=IIalt-2*I
IIIneu=IIIalt-I
1 (4/3) -(1/3) 10
0 -(11/3) (11/3) -12
0 (2/3) (a+1/3) 1
IIneu=IIalt*(-3/11)
IIIneu=IIIalt*(3/2)
1 (4/3) -(1/3) 10
0 1 -1 (36/11)
0 1 (3a+1)/2 3/2
IIIneu=IIIalt-II
1 (4/3) -(1/3) 10
0 1 -1 (36/11)
0 0 3/2*(a+1) -(39/22)
IIIneu=IIIalt*2/3
1 (4/3) -(1/3) 10
0 1 -1 (36/11)
0 0 a+1 -(11/13)
Anhand der 3. Zeile kannst Du jetzt was über die Lösbarkeit aussagen.
Ist a=-1, dann stünde da 0*x3=-(11/13), also gibt es keine Lösung.
In allen anderen Fällen ist das LGS eindeutig lösbar, x3=-(11/13)/(a+1)
Gruß Thomas
PS: So krumme Zahlen, hoffe ich habe mich nicht verrechnet. Der Weg müsste jedenfalls stimmen...
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Martin (mellek)
Neues Mitglied
Benutzername: mellek
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 07-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. August, 2002 - 15:23: |
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Hallo Thomas!
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich hatte auch derartig krumme Werte raus und hatte geglaubt einen Fehler drin zu haben. Aber Deine Lösung deckt sich so ziemlich mit dem von mir ermittelten Ergebnis.
Martin |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. August, 2002 - 15:55: |
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Hallo,
ich bin nicht sicher, ob du mit Determinanten was anfangen kannst. Jedenfalls ist das Gleichungssystem genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich 0 ist.
det = 3*(-1)*a + 4*2*1 +(-1)*2*2 - (-1)*(-1)*1 - 2*2*3 - a*4*2 = -11a - 9
Das System ist für alle a ungleich -9/11 eindeutig lösbar.
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Thomas (johnnie_walker)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. August, 2002 - 16:15: |
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Hi,
egal hat recht, ich habe mich schon bei der 2. Matrix-Umformung verrechnet (und keinen Bock alles nochmal durchzugehen...)
Thomas
(und schneller ist die Methode im Normalfall auch, zumindest bei 3*3 Matrizen mit Sarrus)
(Beitrag nachträglich am 08., August. 2002 von johnnie_walker editiert) |
