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Martin (mellek)
Neues Mitglied
Benutzername: mellek
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 07-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. August, 2002 - 14:15: | 
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Hallo!
Folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen und ich habe nicht mal einen Lösungsansatz:
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:
x1 + x2 - x3 + x4 + 2*x5 = 1
x1 + 2*x2 - 3*x3 - x4 - x5 = 0
2*x1 + 3*x2 - 4*x3 + a*x5 = 1
x1 + x3 + 3*x4 + 5*x5 = 2
x1 - 2*x2 + x3 - x4 - x5 = 0
Für welches a aus R gibt es unendlich viele Lösungen, bei denen zwei Unbekannte frei wählbar sind? Bestimmen Sie die Lösungen.
Ich habe nun schon Stunden damit verbracht mir einen Lösungsweg zu erarbeiten, doch komme nicht richtig weiter. Es wäre klasse, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte, nach welchem Verfahren solche Aufgaben gelöst werden. |
Vielleicht richtig
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. August, 2002 - 16:03: |
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hi mellek,
schreib die Gleichung als
A*(x1,x2,x3,x4,x5) = (1,0,1,2,0) hin.
A ist 'ne Matrix und die Vektoren sollten
eigentlich Spaltenvektoren sein, die ich
hier aber nicht hinschreiben kann.
A ist dann die Matrix
1 1 -1 1 2
1 2 -3 -1 -1
2 3 -4 0 a
1 0 1 3 5
1 -2 1 -1 -1
Es kommt jetzt auf den Rang der Abbildungsmatrix
an. Wenn z.B. a=1 ist, dann ist die dritte Zeile
eine Linearkombination der Zeilen 1 und 2 (tatsaechlich ist sie die Summe).
dann gibt es schon mal unendlich viele Loesungen.
Ich weiss allerdings nicht, ob man auf diese Weise schon zwei Parameter frei wählen kann, oder erst einen. |
Andre Jochim (ajo2)
Neues Mitglied
Benutzername: ajo2
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. August, 2002 - 17:29: |
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Also,
kennst du den Gauß-Algorithmus? Den brauchst du gar nicht mal zu Ende führen, weil man schon nach dem 2. Durchgang sieht, woran man ist:
(Gleichung1 entspricht G1)
G1+ (-1*G2) --> ergibt: -x2+2x3+2x4+ 3x5= 1 (G6)
-2*G1 + G3 --> ergibt: x2-2x3-2x4+(a-4)x5=-1 (G7)
Man sieht hier: G6=-G7
Daher muss beim Koeffizientenvergleich bei x5 3=-(a-4) gelten.
Also ist a=1.
Wenn man für a nun ins Gl.System 1 einsetzt, erhält man die Lösung:
x3 = 1-3*x5-2*x4
x2 = 1-3*x5-2*x4
x5 = x5
x1 = 1-2*x5-x4
x4 = x4
--> es sind 2 Variablen frei wählbar
Ajo |
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