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Tanja (Adriane)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 18:13: | 
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Bitte helft mir ich verstehen diesen Teil der Aufgabe nicht, ich wäre euch sehr dankbar!!!!
e.) Auf der y-Achse existiert genau ein Punkt R, der von den Punkten B(6/1/0) & C(2/3/4) gleich weit entfernt ist. Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Punktes R!
Ich wäre euch sehr zu Dank verpflichtet wenn ihr mir bei dieser Aufgabe helfen könntet, bitte!!!!!!!! (ist wirklich wichtig!!!) |
Rainer Ammer
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 19:14: |
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Hi Tanja
zuerst berechnest du dir mal die Länge von BC = [BC](die eckigen Klammern entsprechen den Betragsstrichen) und dividirst durch 2. Jetzt nimmst du deinen Richtungsvektor (v) der y Achse: zB (0/1/0)(Nun müsstest du dir den Vektor mit der Länge 1 berechnen v ist aber schon eins lang)den Einheitsvektor berechnet man übrigens mit 1/[v]*v. So jetzt müssen wir nur noch den einheitsvektor mit der Länge/2 multiplizieren und zu B addieren. Ich hoffe das war verständlich sonst poste einfach deine Frage
mfg
RAINER AMMER |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 19:49: |
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Hi Tanja
Alle Punkte des Raumes, welche von den Punkten B und C
gleiche Abstände haben, liegen auf einer Ebene E,
der sogenannten Mittelnormalebene der Strecke BC¨.
Diese Ebene geht durch den Mittelpunkt M der Strecke BC
und ist zur Geraden BC senkrecht.
Wir bestimmen die Koordinaten von M als arithmetische Mittel der gleichnamigen Koordinaten der Endpunkte B uns C und erhalten:
xM = ½ (6+2) = 4 , yM = ½ (1+3) = 2 ,zM = ½ (0+4) = 2 ,
somit M( 4 / 2 / 2 ).
Der Vektor r = {- 4 ; 2 ; 4} = 2 { - 2 ; 1 ; 2 }ist ein Richtungsvektor
von BC.
Wir können r oder den verkürzten Vektor n = {- 2 ; 1 ; 2 }
als Normalenvektor von E wählen.
Eine Koordinatengleichung von E lautet somit:
- 2 x + y + 2 z = d , wobei die Koordinaten von n als Koeffizienten
in der Gleichung für E auftreten
Die Konstante d bestimmen wir dadurch, dass wir die Koordinaten
von M in die Gleichung für E einsetzen und dafür sorgen, dass die Gleichung befriedigt wird.
Es kommt d = - 8 + 2 + 4 = - 2 ; daher lautet die gesuchte Ebenengleichung
E: - 2 x + y + 2 z = - 2.
Um den Punkt R zu finden, schneiden wir E mit der y-Achse,
indem wir x = 0 und z = 0 setzen ; wir erhalten yR = -2 , somit:
R( 0 / - 2 / 0 ).
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Max Lier (Sobol)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 21:52: |
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Tipp für einfache Variante:
Die Abstände sind wie folgt zu berechnen:
R hat Koordinaten (0/y/0)
BR = Wurzel(6²+(1-y)²+0²) (eigtl.: (6-0)² ...)
CR = Wurzel(2²+(3-y)²+4²)
Da die Abstände gleich sein sollen, setze ich obige Gleichungen gleich.
Durch Quadrieren entfallen die Wurzeln:
6²+1²-2y+y² = 2² + 3² - 6y + y² + 4² |:y² |+6y
37 + 4x = 29 |-37
4x = -8 |:4
x = -2
==> R(0/-2/0) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 08:02: |
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Hi Max,
Zu der von uns beiden bei der Lösung der Aufgabe von Tanja
eingesetzten Methoden möchte ich ein paar Bemerkungen anbringen.
Deine Methode ist elegant und für dieses konkrete Beispiel eher
vorzuziehen.
Meine Methode fordert jedoch keinen wesentlich grösseren
Rechenaufwand
Durch die ausführlichen Erklärungen ist der Verschleiss an
Bytes etwas grösser geworden
Man könnte die Aufgabe mit dieser Methode sogar als
Kopfrechnung einstufen!
Nun aber zum Hauptargument , welches für den Einsatz der
Mittelnormalebene spricht.
Wird die Aufgabe etwas variiert, so ist die Anwendung der
Mittelnormalebene zwingend.
Ein Beispiel möge dies verdeutlichen
Gegeben sind dieselben Punkte B(6/1/0),C(2/3/4) und eine
Kugel mit Mittelpunkt M(1/11/1), Radius R = 5.
Alle Punkte der Kugelfläche, welche von B und C je gleiche
Absände haben, liegen auf einem Kleinkreis k dieser Kugel
Man bestimme den Mittelpunkt N und den Radius r von k.
Mir ist bei der Mithilfe im Forum aufgefallen, dass die
Studierenden bei der Lösung solcher Aufgaben wenig
Kenntnisse haben von den Begriffen "Mittelnormalebene"
und "Winkelhalbierungsebene" .
Erst recht sollten wir diese Begriffe bei jeder sich bietenden
Gelegenheit zum Einsatz bringen
So viel zur Methodik bezüglich der Vektorrechnung im R3.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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