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uanda
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 14:11: | 
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Nach der allgemeinen Formel muss das ergeben:
i^(1/3)=+/-exp(i*Pi/6)=+/-[cos(Pi/6)+isin(Pi/6)]
wie kann ich das noch weiter vereinfachen?
Und noch ne Frage:ist sqrt(i)=-sqrt(i) und
sqrt(-i)=-sqrt(-i) ?? |
ILHAN
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 19:44: |
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Hi uanda,
so allgemein ist deine Angabe nicht. Die allgemeine Form für n-te Wurzel aus Z lautet :
Z^(1/n) = r^(1/n)*e^j(µ/n +2Pi*k/n)
j = imaginäre Einheit
Z = komplexe Zahl
µ = Winkel ( hier arctan(0/1)= Pi/2)
r = Betrag ( hier Wurzel[o^2+1^2] = 1 )
k = {0,1,2} k geht von 0 bis n-1
für k = 0 erhält man den Hauptwert
Einsetzen und ausrechnen :
für k = 0 ( Hauptwert) :
=> j^(1/3) = 1^(1/3)*e^j(Pi/(2*3))
=> j^(1/3) = e^(Pi/6)
=> j^(1/3) = cos(Pi/6) + j Sin(Pi/6)
=> j^(1/3) = Wurzel[3]/2 + j 1/2
=================================
(*
aus dem Term cos(Pi/6) + j Sin(Pi/6) kann man entnehmen (Satz von Moivre), daß es sich um die
6-te Wurzel aus cos(Pi) + j Sin(Pi) = -1 handelt. Dann würde das Ergebnis so aussehen
j^(1/3) = (-1)^(1/6)
welches völlig gleichwertig mit
Wurzel[3]/2 + j 1/2 ist
*)
-----------------------
für k = 1
=> j^(1/3) = 1^(1/3)*e^^j(Pi/6 + 2Pi/3)
=> j^(1/3) = e^j(5/6 Pi)
=> j^(1/3) = Cos(5/6 Pi) + j Sin(5/6 Pi)
=> j^(1/3) = - Wurzel[3]/2 + j 1/2
==================================
für k = 2
=> j^(1/3) = (1/3)*e^^j(Pi/6 + 4Pi/3)
..
..
=> j^(1/3) = -j
================
Die Behauptung Wurzel[j] = -Wurzel[j] ist falsch
Die Behauptung Wurzel[-j] = -Wurzel [-j] ist falsch
Diese Behauptungen kannst du mit der allgemeinen Form selber ganz einfach nachvollziehen. |
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