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Beitrag |
    
Jenny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 16:51: | 
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wie berechnet man das Integral von 1/x^2-3x+2 |
ILHAN
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 17:43: |
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Hi Jeny,
dieses Integral läßt sich,wenn du die Aufgabe richtig geschrieben hast, gliedweise integrieren.
Integral[ 1/x^2-3x+2,dx] =I_1 + I_2 + I_3
I_1 = Integral[1/x^2,dx] = - 1/x + c1
I_2 = Integral[-3x,dx] = -3x^2/2 +c2
I_3 = Integral[2,dx] = 2x+c3
Zusammensetzten :
Integral[ 1/x^2-3x+2,dx] = I_1 + I_2 + I_3
= - 1/x + c1 + -3x^2/2 +c2 + 2x+c3
Integrationskonstanten c1+c2+c3 = C
zusammenfassen ergibt
= - 1/x - 3x^2/2 + 2x + C
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Falls die Aufgabenstellung
Integral [ 1 / (x^2-3x+2) , dx ] lautet,also der Term unter dem Bruchstrich steht, dann
ist ein anderer Lösungsweg erforderlich.
Stichwort : Partialbruchzerlegung
Melde dich wenn du den Lösunsweg über Partialbruchzerlegung brauchst. |
Jenny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 18:27: |
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Hi Ilhan
Danke fuer die schnelle Antwort. Ich brauche den Loesungsweg fuer 1/(x^2-3x+2) |
ILHAN
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 21:20: |
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Habe ich mir gedacht :-)
Ansatz :
Man versucht den komplizierten Bruch in mehrere einfachere Brüche zu zerlegen.
f(x)=1/(x^2-3x+2) = A/(x-xo1) + B/(x-x02)
xo1 und xo2 sind die Nullstellen des Nenners.
Da es sich beim Nenner um eine quadratische Gleichung handelt gibt es auch 2 Nullstellen.
Berechnung der Nullstellen des Nenners
mit pq-Formel :
x^2-3x+2 = 0
=> xo1 = 1
=> xo2 = 2
also lautet die Zerlegung
1/(x^2-3x+2) = A/(x-1) + B/(x-2)
jetzt die Zähler A und B bestimmen :
Dazu den obigen Ansatz gleichnamig machen
=> 1/(x^2-3x+2) = A/(x-1) + B/(x-2)
rechte und linke Seite mit (x-1)(x-2) multiplizieren, nach dem kürzen sieht es so aus:
=> 1 = A*(x-2) + B*(x-1)
wie du siehst ist auf der linken Seite nur noch der Zähler ( 1 ) übrig geblieben, weil die Multiplikation mit (x-1)(x-2) nichts anderes
ist als Multiplikation mit dem Nenner
(x-1)(x-2)=(x^2-3x+2) = Nenner von f(x)
zur Bestimmung von A und B setzt man x-Werte in die Gleichung ein
( --
Normalerweise ist es egal welche x-Werte man einsetzt, sinnvollerweise setzt man aber die berechneten Nullstellen des Nenners ein, damit ein Term wegfällt, würde man belibige x-Werte einsetzen, bekäme man 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, was ja auch kein Problem sein sollte
-- )
für x die erste Nullstelle einsetzen ergibt
1 = A*(x-2) + B*(x-1)
1 = A*(1-2) + B*(1-1)
=> A = -1
--------------
für x die zweite Nullstelle einsetzen ergibt :
1 = A*(x-2) + B*(x-1)
1 = A*(2-2) + B*(2-1)
=> B = 1
------------
also lautet die Partialbruchzerlegung :
f(x) =1/(x^2-3x+2) = A/(x-1) + B/(x-2)
f(x) =1/(x^2-3x+2) = -1/(x-1) + 1/(x-2)
somit wird aus Integral[f(x)=1/(x^2-3x+2)dx]
= Integral[-1/(x-1) + 1/(x-2) dx]
= Integral[-1/(x-1)dx] + Integral[1/(x-2)dx]
also zwei einfache Integrale.
Lösen des Integrals :
( --
Ich hoffe du weißt, daß Integral[1/(x-a)]=ln|x-a|ist, wenn nicht bekommst du mit der Substitution x-a =z =>dx=dz
das neue Integral[1/z] = ln |z|, dann mit der Rücksubstitution = ln|x-a|
-- )
Integral[-1/(x-1)dx] = -ln|x-1|
Integral[ 1/(x-2)dx] = ln|x-2|
Endgültige lösung :
Integral[1/(x^2-3x+2)] = ln|x-2|-ln|x-1|
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Jenny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 16:31: |
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Vielen Dank fuer die ausfuerliche Erklaerung.Ich glaube ich muss noch viel nachholen. |
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