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Beitrag |
    
ChrisR (Chrisr)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 16:38: | 
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Hi !
Wie gehe ich bei der Integration bei I=cos^3dx mit partieller Subst. vor?
mögl. Ergebnis: 3/4 sin(x)-1/12 sin(3x)+c??
Thanx
Chris |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 19:15: |
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Hallo Chris,
Ich nehme an, du suchst das Integral von ò cos³(x)dx
oder was soll cos^3dx heißen?
Ich weiß auch nicht was partielle Subst. sein soll aber das Integral löst man wie folgt:
I = ò cos³(x)dx = ò (1-sin²(x))*cos(x)dx =
= ò cos(x)dx-ò sin²(x)*cos(x)dx
Das letzte Integral bezeichnen wir mit I2 und lösen es mit partieller Integration:
u=sin²(x)
du=2*sin(x)*cos(x)dx
dv=cos(x)dx
v= sin(x)
I2 = sin³(x)-ò 2*sin²(x)*cos(x)dx = sin³(x) - 2*I2
I2 = (1/3)*sin³(x)
=======
I = sin(x) - (1/3)sin³(x) + C
=========================== |
Tanja
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 18:32: |
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Kann es sein, dass 3/4 sin(x)-1/12 sin(3x)+c, wie Chris anmerkte, auch eine Lösung ist? Hab diese Vorgegeben bekommen, krieg aber den Rechenweg nicht raus, bitte helft mir!!!!!!!!!!!!!!! |
Brainstormer (Brainstormer)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 23:29: |
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Tut mir leid, aber die vorgegebene Antwort scheint falsch zu sein. Ich habe unabhaengig durchgerechnet. Das Integral muss in zwei Teile geteilt werden:
cos(x)dx und -sin^2(x)*cos(x)dx (durch die formel sin^2(x)+cos^2(x)=1)
Der erste Teil kann einfach so integriert werden(ergebnis sin(x)+C), beim zweiten Teil einfach sin(x) fuer u substituieren, so dass man (u^2)du integrieren muss. Das Ergbnis ist dann
sin(x)-(sin^3(x))/3 |
J
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 15:53: |
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Wenn man die Formel cos³x = (1/4)*(cos (3x)+3*cos(x)) benutzt, erhält man bei der Integration
I = sin(3*x)/12 +(3/4)*sin(x)+C.
Du hattest also nur einen Vorzeichenfehler gemacht, Tanja |
the tins
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. September, 2011 - 08:53: |
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Um diese Frage zu beantworten, man kann auch die eurlsche Formel benutzen...
Dies Lautet : cos x = ½ ( e^(j*x) + e^(-j*x) )
sin x = 1/(2*j)*( e^(j*x) + e^(-j*x) )
Man kann schlicht und einfach diese Formel beweisen .
Z sei eine beliebige komplexe Zahl und Z* die konjugierte Zahl von Z
Z kann man als summe von cos x und j*sin x schreiben .
Also Z = cos x + j*sin x
Das heisst Z* = cos x – j*sin x
Z kann man auch als exponenz schreiben
Z = e^ (jx) also Z* = e^ (-jx)
Z + Z* = 2*cos x = e^ (jx) + e^ (-jx)
Z – Z* = 2*j*sind x = e^ (jx) - e^ (-jx) |
the tins
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. September, 2011 - 08:54: |
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Jetzt wie kann ich ( cos x )^3 integrieren ?
Die Antwort ist ganz leicht und zwar man muss [½ ( e^(j*x) + e^(-j*x) )] ^3 rechnen !!!
Die Berechnung erfolgt in den folgendenschritten :
(cos x}^3 = [½ ( e^(j*x) + e^(-j*x) )] ^3
= 1/8 *[ [( e^(j*x) + e^(-j*x) )] ^2 * [( e^(j*x) + e^(-j*x) )] ]
= 1/8 *{ [ e^(2*j*x) + 2*e^(j*x-j*x) + e^(-2*j*x)] * [( e^(j*x) + e^(-j*x) )] }
= 1/8*{ [ e^(2*j*x) + 2*e^(0) + e^(-2*j*x)] * [( e^(j*x) + e^(-j*x) )] }
= 1/8*{ [ e^(2*j*x) + 2+ e^(-2*j*x)] * [( e^(j*x) + e^(-j*x) )] }
= 1/8*{ e^(3*j*x) + e^(2*j*x-j*x) + 2* e^(j*x) + 2* e^(-j*x) + e^(-2*j*x+j*x) + e^(-3*j*x) }
=1/8*{ e^(3*j*x) + e^(-3*j*x) + e^(j*x) + 2* e^(j*x) + 2* e^(-j*x) + e^(-j*x) }
= 1/8*{ e^(3*j*x) + e^(-3*j*x) + 3* e^(j*x) + 3* e^(-j*x) }
Jetzt muss man die eurlsche Formel von der gegenrichtung benutzen und beachten dass der winkel x auch 3*x sein kann und in diesem fall nur x mit 3*x ersetzen .
Also : e^(3*j*x) + e^(-3*j*x) = 2*cos 3*x und 3* e^(j*x) + 3* e^(-j*x) = 3*2*cos x = 6*cos x
Das heisst : ( cos x) ^3 = 1/8*{ 2*cos 3*x + 6*cos x }
Erweitern : ( cos x) ^3 = ¼* cos 3*x + ¾*cos x
Die Integration von ( cos x) ^3 ist gleich die Integration von ¼* cos 3*x + ¾*cos x
Die Integration einer Summe ist die Summe der Integrationen aller Summanden .
Integration von cos x ist sin x also die Integration von ¾*cos x ist gleich ¾*sin x
Integration von cos 3*x ist 1/3 * sin 3*x also die Integration von ¼* cos 3*x ist gleich 1/4*1/3 * sin 3*x
Also Die Integration von ( cos x) ^3 = 1/12 * sin 3*x + ¾*sin x
es gibt also mehrere lösungen...
grüße |
