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Beitrag |
    
Friedemann22
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 16:25: | 
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Bestimmen sie die Gleichungen der vier Kreise, welche die drei Geraden g, h und i berühren.
g: (-1)*x1 + 2*x2 = 4
h: (-1)*x1 - 2*x2 = 4
i: 2*x1 + x2 = 7
Vielen Dank im voraus |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 08:37: |
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Hi Friedemann,
Bei Deiner Aufgabe handelt es sich darum, den Inkreis ko und
die drei Ankreise ka, kb, kc eines Dreiecks ABC zu ermitteln.
Wir bestimmen zuerst die Ecken dieses Dreiecks:
A sei der Schnittpunkt der gegebenen Geraden b , c
b: - x - 2 y = 4 , c: 2 x + y = 7 ; man findet durch Auflösung nach x , y :
A ( 6 / -5 )
B sei der Schnittpunkt der gegebenen Geraden c, a :
c : 2 x + y = 7 , a: - x + 2 y = 4; man findet:
B ( 2 / 3 )
C sei der Schnittpunkt der gegebenen Geraden a , b :
a: - x + 2 y = 4 , b : - x - 2 y = 4; man findet:
C (- 4 / 0 )
Empfehlung:
Trage zur Kontrolle alle gegebenen Daten und die Zwischenresultate
in ein Koordinatensystem ein (Einheit 1 cm).
Dies hilft Dir auch, eine konkrete Vorstellung der Aufgabe zu
gewinnen und fördert die Anschaulichkeit der einzelnen Situationen.
Im nächsten Schritt bestimmen wir alle Halbierenden der
Dreieckswinkel alpha , beta , gamma und der
zugehörigen Aussenwinkel des Dreiecks.
wA ist die Halbierende von alpha bei der Ecke A,
w'A die Halbierende des Aussenwinkels bei A.
Bekanntlich stehen diese beiden Winkelhalbierenden aufeinander
senkrecht ;
analoges gilt für wB, w'B, wC,w'C
Um die Gleichungen der Winkelhalbierenden zu erhalten,
setzen wir die Hesse-Normalformen der gegebenen Seitengeraden
a, b , c ein, da eine Winkelhalbierende die geometrische Eigenschaft
hat, dass ein laufender Punkt auf ihr
von den Schenkeln gleiche oder entgegengesetzt gleiche Abstände hat.
1.Ermittlung von wB und w'B
Gleichsetzung der Abstände eines Punktes P(x/y) von den
Seitengeraden a und c
a in Normalform: ( - x + 2 y - 4 ) / wurzel(5) = 0
Die linke Seite stellt den Abstand des Punktes P(x/y) von a dar.
c in Normalform: ( 2x + y -7 ) / wurzel (5) = 0
Die linke Seite stellt den Abstand des Punktes P(x/y) von c dar
Bei der Gleichsetzung dieser Abstände fällt wurzel(5) weg, und es bleibt:
- x + 2y - 4 = 2x + y - 7 oder
3x - y = 3 als Gleichung der Halbierende wB des Innenwinkels bei B
Bitte diese Gerade sofort einzeichnen !
w'B erhält man ,indem bei der Gleichsetzung der Abstände das
Vorzeichen auf einer Seite der Gleichung geändert wird.
Somit:
- x + 2y - 4 = - 2x - y + 7 oder
x + 3 y = 11 (einzeichnen !)
Die Geraden wB und w'B stehen tatsächlich aufeinander senkrecht.
2.Ermittlung von wC und w'C
Normalform von a: siehe Punkt 1.
Normalform von b : ( - x - 2y - 4) / wurzel(5) = 0
Gleichsetzung der Abstände des Punktes P(x / y) von a und b
(- x + 2y - 4) / wurzel(5) = ( -.x - 2 y - 4 ) / wurzel(5) , daraus:
y = 0 : die x-Achse ist die Winkelhalbierende wC !
Dazu steht die durch C (- 4 / 0 ) gehende Gerade x = - 4 senkrecht
und stellt daher w'C dar.
3.Ermittlung von wA und w'A
Resultat : wA: y = - x + 1 , w'A : y = x - 11
Diese beiden Geraden stehen ,wie es sein muss , aufeinander senkrecht
und gehen durch den Punkt A(6/-5).
Weiteres Vorgehen
Der Schnittpunkt der Innenwinkelhalbierenden wB und wC ist
der Mittelpunkt Mo des Inkreises ko
Man erhält mit Hesse den Radius ro dieses Kreises.
Ergebnis: Mo(1 / 0) , ro = wurzel(5)
Die Mittelpunkte Ma, Mb, Mc und die Radien ra,rb,rc
der Ankreise ergeben sich so:
Ma als Schnittpunkt der Geraden w'B und w'C,
Radius ra mit Hesse als Abstand des Punktes Ma von der Geraden a.
usw.
Ergebnisse in einer Fortsetzung.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 15:28: |
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Hi Friedemann,
Motto: repetitio est mater studiorum !
Wir wiederholen die wichtigsten Ergebnisse des ersten Teils
a) Eckpunkte des Dreiecks:A(6/-5) , b(2/3), C (-4/0)
b) Die Hesseschen Normalformen der Geradengleichungen lauten
für a = BC : (- x + 2y - 4 ) / wurzel(5) = 0
für b = CA : (- x - 2y - 4 ) / wurzel(5) = 0
für c = AB : (2 x + y - 7 ) / wurzel(5) = 0
c) Die Gleichungen der Winkelhalbierenden bei der
Ecke A : Innenwinkelhalbierende wA : y = - x + 1
Aussenwinkelhalbierende w'A: y = x - 11
Ecke B : Innenwinkelhalbierende wB : 3x - y = 3
Aussenwinkelhalbierende w'B : x + 3y = 11
Ecke C : Innenwinkelhalbierende wC : y = 0
Aussenwinkelhalbierende: w'C : x = - 4.
d) Inkreismittelpunkt Mo als Schnittpunkt von wB und wC
Resultat M (1/0)
Radius ro des Inkreises : setze indie Normalform von a die
Koordinaten von Mo ein; es kommt:
ro = wurzel(5).
Somit lautet die Gleichung des Inkreises:
( x - 1 ) ^ 2 + y ^ 2 = 5 .
Weiter im Text:
1) Der Ankreis ka berührt unter anderem die Seite a ;
der Mittelpunkt Ma ergibt sich als Schnittpunkt der
Halbierenden w'B und w'C:
Ma (- 4 / 5 ) .
Den Radius erhält man mit Hesse als Abstand des Punktes Ma
von a: ra = 2 * wurzel(5)
Gleichung von ka:
( x + 4 ) ^ 2 + ( y -5 ) ^ 2 = 20.
2) Der Ankreis kb berührt u.a. die Seite b ; der Mittelpunkt Mb
ergibt sich als Schnittpunkt der Halbierenden w'C und w'A:
Mb(-4/-15).
Den Radius erhält man mit Hesse als Abstand des Punktes Mb
von b: rb =6 * wurzel(5)
Gleichung von kb:
( x + 4 ) ^ 2 + ( y + 15 ) ^ 2 = 180
3) der Ankreis kc berührt u.a. die Seite c; der Mittelpunkt Mc
ergibt sich als Schnittpunkt der Halbierenden w'A und w'B:
Mc(11 / 0 ).
Den Radius erhält man mit Hesse als Abstand des Punktes Mc
von c: r c = 3 * wurzel(5)
Gleichung von kc:
( x -11 ) ^ 2 + y ^ 2 = 45
Wichtige Bemerkung:
Es gibt eine Kontrollmöglichkeit mittels des Satzes über die
Reziprokwerte der Radien dieser vier Kreise.
Der Satz lautet :
1 / ro = 1 / ra + 1 / rb + 1 / rc
Unsere Werte bestehen diese Probe
SUMMA CUM LAUDE :
links und rechts steht der Wert 1/ wurzel(5)
Auftrag erfüllt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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