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Beitrag |
    
Martin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 16:40: | 
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Wie löst man die Aufgabe "berechne für links- und rechtsseitge Annäherung die folgenden Grenzwerte":
2x²-6x
lim --------
x->3 x²+x-12
Danke! |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 18:06: |
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Hi Martin!
Es gibt mehrere Möglichkeiten:
Folgender Vorschlag:
Wenn ich in den Nenner x=3 einsetzten würde, was hätte er dann für einen Wert?
3²+3-12=9+3-12=0
3 ist also eine Nullstelle des Nenners.
Jetzt, wo wir wissen, dass der Nenner gegen 0 geht, interessieren wir uns für den Zähler. Was passiert mit dem Zähler, wenn x gegen 3 strebt?
2*3²-6*3=2*9-18=0
Also strebt der Zähler auch gegen 0.
Demnach ist x=3 eine Nullstelle des Zählers und eine Nullstelle des Nenners.
Also enthalten sowohl Zähler als auch Nenner den Faktor (x-3).
Der Zähler lässt sich schreiben als
2x²-6x=2(x²-3x)=2x(x-3)
Beim Nenner verwenden wir Polynomdivision:
(3x²+x-12)/(x-3)=(x+4)
Also kann man den Nenner als (x+4) schreiben.
Die Funktion wird also zu
[ 2x*(x-3) ]/[(x+4)(x-3)]
Wenn x ungleich 3 ist, dann ist (x-3) ungleich 0, d.h. man darf durch (x-3) teilen. Also kann man sagen, dass für x ungleich 3 der Funktionsterm zu
"2x/(x+4) mit x ungleich 3"
wird.
So, und nun soll der Grenzwert für x gegen 3 berechnet werden. Das geht jetzt relativ einfach:
Wenn x von links oder von rechts gegen 3 strebt, strebt der Zähler 2x gegen 2*3, also gegen 6.
Der Nenner (x+4) strebt gegen (3+4), also gegen 7.
Demnach müssten beide Grenzwerte (einmal von rechts, einmal von links) gleich 6/7 sein.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
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