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Beitrag |
    
Peg
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 07:29: | 
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geg: E1 x= (9,0,0) +r (9,0-9) +s (8,-8,-4)
E2 x= (12,0,0)+ u (9,-4,-4) +v (8,-4,-3)
g: x= (3,4,4) +l (-1,0,1)
h: x= (0,0,9) +m (-12,0,9)
R (1,8,4)
ges: 1. Bestimme eine Glg. der Schnittgeraden s von E1 und E2.
Berechne die Durchstoßpunkte von s durch die Koordinatenebenen.
2. Zeige, dass die Geraden s und h windschief sind und berechne
ihren Abstand. Bestimme einen Punkte S von s und einen Punkt H
von h so, dass HS der Abstand dieser beiden Geraden ist.
3. Welchen Abstand hat der Punkt R von der Geraden g? |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 14:01: |
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1) Ebenen in Koordinatendarstellung (mit dem Kreuzprodukt aXb und dem Skalarprodukt ab)
Mit n = bXc = (9,0,-9)X(8,-8,-4) = 9(-8,-4,-8)
also nx = -8x-4y-8z und na = (-8,-4,-8)(9,0,0) = -72 ist
E1: -8x-4y-8z=-72
Mit n = bXc = (9,-4,-4)X(8,-4,-3) = (-4,-5,-4)
also nx = -4x-5y-4z und na = (-4,-5,-4)(12,0,0) = -48 ist
E2: -4x-5y-4z=-48
Die Schnittgerade muß beide Ebenengleichungen erfüllen. Das ist gleichbedeutend mit der
Lösung des Gleichungssystems
-8x-4y-8z=-72
-4x-5y-4z=-48
ergibt y=4, z=7-x.
Mit dem Parameter x=t ist z=7-t und man erhält die Schnittgeradengleichung
s: x = (0,4,7) + t(1,0,-1)
Durchstoßpunkte durch die Koordinatenebenen:
Schnittpunkt x0 einer Geraden x=a+tb und einer Ebene nx=d ist
x0 = a + (d-na)/nb * b
x,y-Ebene N1: z=0 (also n=(0,0,1) und d=0)
na = (0,0,1)(0,4,7) = 7
nb = (0,0,1)(1,0,-1) = -1
x0 = (0,4,7) + (0-7)/(-1)*(1,0,-1) = (0,4,7)+(7,0,-7) = (7,4,0)
y,z-Ebene N2: x=0
Es ist sofort ersichtlich, daß für t=0 der Punkt x0=(0,4,7) Durchstoßpunkt ist.
x,z-Ebene N3: y=0
Ist nicht lösbar. Die Gerade s liegt parallel zur x,z-Ebene.
2) s und h gleichsetzen und das Gleichungssystem betrachten
(0,4,7)+t(1,0,-1) = (0,0,9)+m(-12,0,9) <=>
t(1,0,-1)+m(-12,0,9) = (0,-4,2)
0*t+0*m=-4 ist nicht lösbar, also besitzen s und h keinen Schnittpunkt, sind also windschief.
Der Abstand zweier Geraden ist (mit dem Spatprodukt [a,b,c])
d = |[a2-a1,b1,b2]| / |b1Xb2|
[(0,-4,2),(1,0,-1),(-12,0,9)]=-12
b1Xb2 = (1,0,-1)X(12,0,9)=(0,3,0)
|b1Xb2| = wurzel(0+9+0)=3
d = 12/3 = 4
Der Vektor (0,3,0) steht auf beiden Geraden senkrecht.
Gesucht ist jetzt der Punkte S auf s, der um ein Vielfaches von (0,3,0) verschoben, die Gerade h im Punkt H
schneidet. Damit ist folgendes Gleichungssystem zu lösen:
(0,4,7) + t0(1,0,-1) + w0(0,3,0) = (0,0,9) + m0(-12,0,9)
Lösung ist t0=-8, w0=-4/3, m0=2/3
Der Punkt S ist also
(0,4,7)-8(1,0,-1) = (-8,4,15)
Der Punkt H ist
(0,0,9)+2/3(-12,0,9) = (-8,0,15)
3) Der Abstand d eines Punktes p von einer Geraden g: x=a+tb ist
d = |bX(p-a)| / |b|
p-a=(1,8,4)-(3,4,4) = (-2,4,0)
bX(p-a) = (-1,0,1)X(-2,4,0) = (-4,-2,-4)
|bX(p-a)| = wurzel(16+2+16)=6
|b| = wurzel(1+0+1)=wurzel(2)
d = 6/wurzel(2) = 3*wurzel(2)
hoffentlich sind die alle begriffe bekannt und hoffentlich hab ich mich nicht verrechnet |
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