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rodriguez
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 19:28: | 
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ich habe ein problem und zwar soll ich folgendes tun: ein buch lesen über krümmung von funktionsgraphen und dann selbständig darstellen, wie die krümmung von funktionsgraphen bestimmt werden kann.
in dem buch steht:
-der krümmungskreis + herleitung
-die formel zur krümmung + die formeln 'krümmung einer kurve', 'krümmungsradius' und die formel zur bestimmung der koordinaten des krümmungsmittelpunktes
ich hoffe ich habe dieses mal genügend informationen mitgegeben. ich bitte um antwort, danke im vorraus. |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 06:25: |
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Hallo rodriguez, selbständig darstellen heißt, daß Du es nicht stur abschreiben sollst, sondern Dir in Ruhe alles durchlesen und versuchen, es nachzuvollziehen und zu verstehen. Die selbständigkeit liegt dann darin, die Herleitung der Formel in eigene Worte zu fassen und vielleicht ein noch nicht behandeltes Beispiel selbst zu erarbeiten und zu demonstrieren.
Ich bin mir nicht sicher, ob es das ist, was Du hören wolltest. Wenn Du konkretere Informationen zur Vorgehensweise oder gar zum Thema Krümmung selbst brauchst, melde Dich nochmal. |
rodriguez
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 20:45: |
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danke für die antwort, aber ich hätte gerne noch ein paar konkrete informationen zur vorgehensweise. es wäre nett, wenn du mir die herleitung für den krümmungskreis erklären könntest: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
vielen dank im vorraus |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 21:35: |
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Okay, ich versuche, etwas zu finden. Allerdings muß ich gestehen, daß ich noch nicht viel davon weiß, das ist kein normaler Schulstoff. Wie der Krümmungskreis berechnet wird, steht in den Büchern, aber die Herleitung ist nicht einfach zu finden. |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. März, 2001 - 14:15: |
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Also folgendes:
Du hast eine Funktion f(x) gegeben, von der Du an irgendeiner Stelle x den Krümmungskreis mit der Formel (x-a)2+(y-b)2=r2 ermitteln willst.
Dazu forme die Gleichung um: y=k(x)=+-Ö(r2-(x-a)2)+b
Ich nehme jetzt einfach den Fall an, daß die Funktion f(x) an der Stelle x linksgekrümmt ist ,dann brauche ich den unteren Halbkreis:
k(x)=-Ö(r2-(x-a)2)+b
Die Berechnung fur f(x) rechtsgekrümmt an der Stelle x geht dann analog.
Nun kenne ich drei Bedingungen:
f(x)=k(x)
f'(x)=k'(x)
f''(x)=k''(x)
Das sind drei Gleichungen, mit den Unbekannten r,a und b
Durch geschicktes Einsetzen kann ich nun jeweils zwei Variablen so eliminieren, daß ich r,a und b in Abhängigkeit von x,f(x),f'(x) und f''(x) darstellen kann, wodurch der Kreis eindeutig bestimmt ist.Das ist eine ziemliche Rechnereri, wenn Du also nicht zurechtkommst, frag noch mal, dann kann ich Dir weiterhelfen. |
rodriguez
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 18:04: |
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danke für deine antwort, aber ich habe erst jetzt bemerkt, dass ich die herleitung zur krümmung einer kurve machen sollte, jedoch miithilfe der formel des krümmungskreises.
formel: k=((y0)'')/((1+((y0)')²)^(3/2))
formel zur krümmung: k=1/r
x und y sind die koordinaten. a und b sind die mittelpunktskoordinaten und r ist der kreisradius. wenn dieser kreis sich einer gegebenen kurve mit y=f(x) in einem bestimmten punkt P0 (x0|y0) anschmiegen soll, so müssen diese drei konstanten so bestimmt werden, das möglichst viele ableitungen der gegebenen funktiosgleichung und der kreisgleichung übereinstimmen. wegen der beschränkung auf drei konstante könnte dies aber nur der funktionswert
f(x0) und die beiden ableitungen f'(x0) und
f''(x0) an der stelle x0 sein:
aus (x-a)²+(y-b)²=r² folgt durch implizites differenzieren
2(x-a)+2y'(y-b)=0 oder auch
(s) a+b*y'=x+y*y' werden.
durch weiteres differenzieren ergibt sich
b*y''=1+(y')²+y*y'' , d.h.
(ss) b=y+ (1+(y')²)/y'' .
durch einsetzen von (ss) in (s) folgt unmittelbar
a=x+y*y'-b*y'=x-((1+(y')²)y'/y'' .
die kreisgleichung liefert
r=((((1+(y')²)²(y')²)/(y'')²)+
((1+(y')²)/(y'')²))^(1/2)=
((1+(y')²)^(3/2))/y'' .
wir erhalten a,b,r an der stelle P0(x0|y0), wenn wir für x,y,y',y'' die werte x0,f(x0),f'(x0),
f''(x0) der gegebenen funktion einführen.
das ganze ist aus: Reidt - Wolff - Athen, Elemente der Mathematik, Oberstufe Band 3, (Schroedel) hannover 1966, Seite 308f.
es wäre nett, wenn du mir die einzelnen schritte bis spätestens samstag erklären könntest. montag ist abgabetermin. danke im vorraus. |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 20:49: |
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Okay, wenn es bis dahin kein anderer gemacht hat, werde ich es mal anschauen, ich denke morgen abend habe ich ein bißchen Zeit. Bis dann |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 21:41: |
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Hallo, das ganz ist nicht so schwer, wie es aussieht.Ich denke ,daß es klar ist, daß der Krümmungskreis durch denselben Punkt
(x0 ; f(x0))gehen und dort die gleiche Steigung f'(x0) und Krümmung f''(x0) haben muß.
Deshalb nehmen wir erstmal die allgemeine Kreisgleichung (s. oben) und berechnen allgemein in Abhängigkeit von a und b die 1. und 2. Ableitung. Dies wurde hier implizit gemacht.
Da ja dy nach dx differenziert wird, wird x direkt abgeleitet, y aber nicht direkt abgeleitet,
da ja in y ein Funktionswert steckt.
daher entsteht aus (x-a)2 direkt abgeleitet 2*(x-a)*1
jedoch aus (y-b)2 entsteht wegen dem oben gesagten 2*(y-b)*y'
r2 ist konstant und hat die Ableitung 0
auf (s) kommt man durch Ausmultiplizieren und kürzen.
Die zweite Ableitung macht man aus (s):
a ist konstant, y wird zu y'', x abgeleitet ergibt 1und bei y*y' wendet man die Produktrewgel an: y'*y'+y*y''
ss entsteht dann wieder durch umformen.
Das Einsetzen von (ss) in (s) dürfte keine Schwierigkeiten bereiten.
Setze ich nun das berechnete a und b in die Kreisgleichung ein und ziehe die Wurzel, dann kommt die Formel für r heraus, die tatsächlich 1/k ist.
Der einzige Unterschied zu meiner Methode ist, daß die Ableitungen implizit vorgenommen wurden, man erspart sich dadurch ein etwas komplizierteres Gleichungssystem. Ich weiß nicht, ob Du nun alles nachvollziehen kannst. Bitte sag mir noch mal konkret, wenn Du mit etwas Schwierigkeiten hast. |
rodriguez
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 20:48: |
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hallo, vielen dank, das konnte ich gut gebrauchen. die herleitung habe ich mittlerweil verstanden, bis auf die sache mit dem y. warum wird das teil nicht direkt abgeleitet? deine erklärung ist mir unklar. und meine eigentliche aufgabe ist:
'Stellen Sie selbständig dar, wie die Krümmung von Funktionsgraphen bestimmt werden kann'
meinst du, dass diese herleitung für diese aufgabenstellung reicht, oder muss ich da noch mehr zu schreiben und wenn ja, bitte sag mir was. dankeschön |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 14:01: |
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Hallo Rodriguez,
Ich probiere es mal so:
Eine Funktion f(x) wird auch dargestellt als y (Um die Veranschaulichung in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem deutlicher zu machen)
z.B f(x)=x2 entspricht y=x2
Bilde ich die Ableitung von f(x) bzw. y nach x, schreibe ich doch: f'(x)=2x bzw y'=2x
Da das y der Funktionswert ist, der abgeleitet werden soll, schreibe ich nicht 1=2x, sondern
y'=2x
Hätte ich z.B. die Beziehung
y2=x2
wäre die Ableitung:
2y*y'=2x, weil ich von y nach x ableite.Ein y' muß ja übrig bleiben, sonst könnte ich die Ableitung nicht bestimmen.
Ob ich es implizit mache oder explizit, f(x) bzw y muß symbolisch abgeleitet werden, denn es ist der Funktionswert!(Das ist jetzt keine Mathematische Fachsprache, aber ich hoffe, es ist dennoch deutlich geworden)
Ich kann mir nicht vorstellen, daß Du zur Herleitung der Krümmung selbst noch viel schreiben mußt. Die Krümmung einer Funktion ist ja durch ihre zweite Ableitung bestimmt. Nach der Aufgabenstellung zu schließen, wird wohl mehr Bedeutung auf die Herleitung des Krümmungskreises
einer Funktion in einem Punkt (x0|y0) gelegt, und wenn Du zwischen den einzelnen Schritten aus dem Buch noch Kommentare hinzufügst wie z.B. 'Nun muß ich die zweite Ableitung implizit berechnen, um die Krümmung im Punkt x0 zu erhalten', oder Ähnliches, dann müsste Dir der Lehrer eigentlich abnehmen, daß Du das Ganze nicht nur abgeschrieben, sondern auch verstanden hast.
Hängt viel von dieser Arbeit ab? |
rodriguez
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 12:59: |
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danke, ich denke ich bin jetzt restlos aufgeklärt. die arbeit ist meine facharbeit und ich muss sie am dienstag abgeben. meine motivation zum fertigstellen dieser arbeit geht gegen null. wenn ich im mündlichen ein tick besser wäre, würde ich sie so abgeben wie sie jetzt ist. ich schreibe nun schon zum zweiten mal eine facharbeit in mathe, weil ich die 12. dummerweise wiederholt habe, und es wird jedes mal schlimmer. du hast mir jedenfalls sehr geholfen und ich werde dich über die note informieren, bis dann und danke nochmal. und danke an den menschen, der diese einrichtung erfunden hat.
wenn du noch zeit hast, könntest du dir das hier vielleicht noch mal angucken, ich bekomme nämlich keine antwort darauf, es handelt sich hierbei um einen teil der zweiten aufgabe meiner facharbeit:
ich habe hier eine kurve, die ich auf millimeterpapier abgepaust habe. nun möchte ich eine funktiosgleichung aufstellen, wie stelle ich denn das bloß an? ich muss dann anhand der kurve ihre krümmung feststellen um dann herauszufinden, wie schnell ein auto in der kurve fahren darf...
ich habe hier drei verschieden kurven. eine ist fast wie ein kreis, d.h. starke krümmung. eine ist ein bisschen weniger gekrümmt und die dritte noch weniger. alle drei kommen aus dem unendlichen und gehen ins unendliche. alle sind erst gerade, nehmen an krümmung zu und werden dann wieder gerade. es handelt sich um autobahnauf- bzw. abfahrten.
danke im vorraus, wäre nett wenn du heute noch antworten könntest. |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 20:16: |
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Hallo rodriguez, ich weiß nicht genau, was Du für Kurven da vor Dir hast, könntest Du mir nicht Zeichnungen zukommen lassen?
Es gibt da die Parabeln a*xn, allerdings sind dies im Unendlichen keine Geraden. Was ich mir vorstellen kann, sind solche Funktionen:
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Vielleicht kannst Du damit was anfangen, wenn nicht, ich schaue heute nacht noch mal rein oder dann morgen vormittag. |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 20:18: |
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P.S. Das sind Kurven der Form
|x3|/(x2+c) für c element R+ |
rodriguez
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. März, 2001 - 13:16: |
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genau richtig. zeichnungen kann ich leider nicht machen, da mir dazu die zeit fehlt. also, schreib mir noch was wenn du lust hast, ich glaube nicht, dass ich das noch verwenden kann. danke im voraus (richtig: ohne doppel r). |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. März, 2001 - 17:26: |
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Wieso soll ich noch was schreiben, wenn Du es eh nicht mehr verwenden kannst ??????????
Ich hatte heute vormittag leider keine Zeit und jetzt muß ich auch schon wieder weg. Ich wüsste leider nicht, womit ich Dir jetzt noch helfen könnte.
Ich wünsche Dir, daß Du für Deine Mühe trotzdem mit einer vernünftigen Note belohnt wirst. |
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