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Beitrag |
    
Ina
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 14:33: | 
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Ich hab ein gaaaaanz dringendes Problem mit einer Induktion:
Ich soll per Induktion beweisen, dass man jede Potenz von phi=1,618033989 (eine Lösung von x²=x+1) als Linearkombination von Phi und 1 darstellen kann, z.B.: phi(hoch n+2)=a(n+2)*phi+a(n)*1 mit a(n+2)=a(n+1)+a(n) und a(1)=1, a(2)=1.
Bitte, bitte, hilf mir jemand damit!!!! |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 16:49: |
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Das ist gar nicht so schwer. Um mir Tipparbeit zu sparen, schreibe ich p statt phi, ok?
Erst einmal ist ein kleiner Fehler in der Formel. Richtig lautet sie
pn+2=a(n+2)*p+a(n+1)*1 mit a(n+2)=a(n+1)+a(n) und a(1)=1, a(2)=2
Induktionsanfang: n=0
Dann ist a(2)=1 und a(1)=1
p²=a(2)*p+a(1)*1 = 1*p+1*1 = p+1
ist richtig, da p Lösung der Gleichung x²=x+1 ist.
Einmal zum üben n=1: Dann ist a(3)=2 und a(2)=1
Nach der Behauptung müßte p³=2*p+1 sein.
Das rechnen wir jetzt nach
p³=p²*p
=(p+1)*p (das ist der ganze Trick - die Eigenschaft p²=p+1 ausnutzen)
=2*p+1
Also haben wir die Induktionsvoraussetzung:
Für n=0, n=1 gilt pn+2=a(n+2)*p+a(n+1)*1 mit a(n+2)=a(n+1)+a(n)
Induktionsschritt: n+2 => n+3
nach der Behauptung müsste pn+3=a(n+3)*p+a(n+2)*1 mit a(n+3)=a(n+2)+a(n+1) sein
pn+3=pn+2*p
=[a(n+2)*p+a(n+1)*1]*p
=a(n+2)*p²+a(n+1)*p
=a(n+2)*(p+1)+a(n+1)*p
=[a(n+2)+a(n+1)]*p+a(n+2)*1
=a(n+3)*p+a(n+2)*1 |
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