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Steffen (Euron)
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Februar, 2001 - 16:53: | 
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Hallo
Ich habe folgendes Problem mit kubischen Gleichungen. Ich kann die Rechnung für den Beweis der Punksymmetrie bei kubischen Gleichungen nicht ganz nachvollziehen. Die Rechnung habe ich in gekürzter Form auf der Seite
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/10484.html
gefunden.
Ich kommen an der Stell nicht weiter, wo es heißt: "Wenn wir geschickt rechnen, erhalten wir...". Ich habe zwar schon reichlich gerechnet, schaffe es aber nicht auf die Gleichung v=au^3+[c-b^2/(3a)]*u zu kommen.
Kann mir jemand helfen?
Vielleicht du, H.R.Moser? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Februar, 2001 - 21:31: |
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Hi Steffen,
Gerne führe ich die Berechnung in extenso und mit etwas geänderten
Bezeichnung vor.
Im Laufe der Herleitung benötigen wir bekannte binomische
Entwicklung für n = 3
( p - q ) ^ 3 = p ^ 3 - 3 p ^ 2 * q + 3 p * q ^ 2 - q ^ 3......................(Bino)
Gegebene kubische Funktion
f (x) = a x ^ 3 + b x ^ 2 + c x + d x
Wendepunktskoordinaten:
x1 = - b / 3a , y1 = f (x1) = 2 b^3 / ( 27 a ^ 2 ) - bc / (3a) + d
Parallelverschiebung :
alte Koordinaten x , y durch die neuen u , v ausgedrückt:
x = u + x1 , y = v + y1
eingesetzt in die Funktionsgleichung und tapfer gerechnet:
v + y1 = = f{u + x1} = f {u - b / (3a) }, also:
v + 2b^3/(27a^2) - bc / (3a) + d =
= a [ u - b / (3a)] ^ 3 + b [u - b / (3a) ] ^2 + c [ u - b / (3a) ] + d... (E)
Jetzt kommt (Bino) zum Zuge! Die linke Seite der Gl. (E) wird
vorübergehend mit L abgekürzt; es kommt:
L = a { u ^ 3 - 3 u ^ 2 b / (3a) + 3 u b^2 / (9 a ^ 2) - b^3 / ( 27 a^3 )}
+ b u ^ 2 - 2 u b^2 / (3 a) + b ^ 3 / (9 a ^ 2 )
+ c u - b c / (3a) + d .
Ausführlich:
L = a u ^ 3 - b u ^2 + b^2 u / (3a) - b^3 / (27 a ^ 2)
+ b u ^2 - 2/3 b^2 u / a
+ b^3 / ( 9 a ^2 ) + cu - bc / (3a) + d.
Ersetzt man L durch seinen Inhalt , so ergeben sich folgende
Erkenntnisse (links und rechts gut nachsehen !)
1. alle konstanten Glieder heben sich weg
2. alle u ^ 2-Glieder heben sich weg
3. was bleibt, kann sich sehen lassen:
v = a * u ^ 3 + c* u - b ^ 2 / (3a) * u
Es gibt nur Glieder mit ungeraden u-Potenzen
Es ist erfreulich, dass eine über einen Monat zurückliegende Arbeit
von Interessenten benützt und gewürdigt wird !
Darf ich um Rückmeldung bitten, ob die Rechnung nun klarer
geworden ist .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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