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Sebastian Ebel (Maxfunse)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Februar, 2001 - 21:47: | 
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Ich brauche eine Herleitung, bzw. einen Beweis (oder zumindest den ansatz) warum e^x abgeleitet wieder e^x ist!!!!
könnt mir auch gerne mailen |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Februar, 2001 - 23:05: |
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Hallo Sebastian,
der Beweis folgt aus dem Ansatz
(ax)' = ln a * ex (1)
Und für a = e findest du schnell:
(ex)' = ex (2)
(1) ist eine allgemeine Differenzierungsformel für Exponentialfunktionen. Wenn Du wissen möchtest, wie man (1) herleitet, dann melde dich doch nochmal hier im Forum!
Viele Grüße
 Oliver |
Sebastian Ebel (Maxfunse)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Februar, 2001 - 23:38: |
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Ja, auf die Herleitung kams mir eigentlich an!!!!! |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Februar, 2001 - 21:55: |
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Hi Sebastian,
sorry das ich deine Nachricht erst jetzt lese.
Für die komplette Entwicklung ist es jetzt etwas spät, aber ich werde sie dir gleich morgen (Dienstag) hier im Forum zukommen lassen!
Bis dahin viele Grüße
Oliver |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 14:21: |
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Hallo Sebastian,
los geht es mit der versprochenen Herleitung:
Es ist die Funktion f(x) = ax mit xeR zu differenzieren. Der Differentialquotient liefert
f'(x) = lim (ax+h - ax) / h
(h->0)
Ausklammern von ax ergibt dann
lim ax * [ (ah - 1 )/ h ]
Nun verwenden wir für den Rest des Grenzwertes in den eckigen Klammern einen kleinen Kunstgriff:
Wir setzen h = loga (k + 1). Wichtig: Nun geht nicht h gegen 0, sondern k --> 0! Warum das so gemacht wird, fällt Dir beim Rest meiner Herleitung schnell auf, also folgt:
lim ax * [ (aloga (k + 1) - 1) / (loga (k + 1)) ]
Vereinfachen ergibt dann
lim ax * [ ( k / (loga (k + 1)) ]
k-->00
Wenn wir das K im Zähler in den Nenner "bringen" und danach die 3. Logarithmenregel anwenden entpuppt sich unser Kunstgriff als Folge für die Zahl e:
lim ax * [ 1 / ((loga (k + 1)1/k) ]
k-->0
Die "ursprüngliche" Folge für die Zahl e ist bekanntlich ( 1 + 1/n)n (1). Das (k + 1)1/k gegen e strebt zeigen wir, indem wir in (1) n durch 1/k ersetzen und dabei anstatt n--> oo schließlich k -> 0 gehen lassen!
Damit ist der Beweis abgeschlossen, wir finden
f'(x) = ax * (1/(loga e))
Wegen loga (e) = ln e / ln a finden wir dann endlich:
f'(x) = ax * ln (a).
Das die Ableitung von ex dabei wieder ex wird, kannst Du nun einfach zeigen!
Sollte es noch Fragen geben, dann melde dich doch bitte wieder bei mir!
Viele Grüße
Oliver |
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