| Autor |
Beitrag |
    
Nicola
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 16:01: | 
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Nr.1
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades hat den Nullpunkt als Wendepunkt und an der Stelle x(1)= (Wurzel 3)/3 die Steigung 0. Er schließt für x>0 mit der D-Achse eine Fläche F mit A(F)=3/4 ein.
Nr.2
Gibt es eine Funktion f mit f(x)=ax(hoch n) (n€N), bei der der Funktionsgraph zwischen dem Nullpunkt 0 und einem Kurvenpunkt P das Dreieck OPQ halbiert,wenn Q der Fußpunkt des Lotes von P auf die D-Achse ist?
Nr.3
a) Diskutieren Sie die Funktion
f zu f(x)= 1/9x³-4/3x!
b) Die Tangente im Hochpunkt p0(xo/y0) schneidet den Graphen in einem weiteren Punkt P1(x1/y1); bestätigen Sie,daß x1=-2x0 ist!
c) Wie groß ist die Fläche zwischen dieser Tangente und dem Graphen?
d) Zeigen Sie,daß die Beziehung aus b) für jede Funktion f zu f(x)= ax³+bx (mit a*b<0) gilt!
Wäre sehr dankbar wenn man mir bei diesen Aufgaben helfen würde! |
juergen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Februar, 2001 - 23:39: |
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Zur 1.
f(x)=ax3+bx2+cx+d
Jetzt brauchen wir 4 Gleichungen, um a,b,c und d bestimmen zu können:
f(0)=0
f''(0)=0
f'(Ö3/3)=0
òf(x) ... = (was ist die D-achse... = x-Achse?)
Dann einsetzen und Gleichungssyystem bestimmen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Februar, 2001 - 17:08: |
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Hi Nicola,
Aufgabe 3d)
Vorspann
Die dritte Aufgabe möchte ich allgemein lösen.
Es wird dann für Dich nicht mehr schwierig sein, die
Lösung für das numerische Beispiel auszuführen.
Da nur ungerade Potenzen in x vorhanden sind, ist
die Kurve zum Nullpunkt O zentralsymmetrisch
Durch Spiegelung an O geht sie in sich über.
Es wird vorausgesetzt, dass a und b verschiedene
Vorzeichen haben; dabei dürfen wir annehmen,
dass a positiv ist, dann ist b voraussetzungsgemäss
negativ.
Ermittlung des Hochpunktes H.
Ableitungen:
f ' (x) = 3 a x ^ 2 + b , f ''(x) = 6 a x.
positive Nullstelle xo von f '(x) :
xo = wurzel( - b / 3a ) ; der Radikand ist wegen der
Voraussetzung positiv und die Wurzel somit reell.
An der Stelle xo wird die zweite Ableitung negativ
und wir haben es mit einem veritablen Hochpunkt
H(xo/yo) zu tun
Berechnung der Ordinate yo von H:
yo = a*xo ^ 3 + b* xo = (a * xo^2 + b ) * xo =
= [ - a * b / (3*a) + b ] * xo
= 2/3 * b * xo
==========
Die Parallele zur x.-Achse durch H hat die Gleichung
y = yo
Sie schneidet die Kurve in dem im Text genannten
Punkt P1(x1/y1), wobei y1 mit yo übereinstimmt
Es ist gemäss Aufgabentext nachzuweisen, dass
x1 = - 2 * xo gilt.
Dieser Nachweis ist erbracht, wenn die Beziehung
f(x1 ) = y1 richtig ist .
Daher setzen wir x1= - 2 * xo an Stelle von x in die
Funktionsgleichung ein; wenn das Resultat mit
yo = 2/3 * b* xo
übereinstimmt, ist die Behauptung bewiesen
Durchführung dieses Plans
f(x1) = f (- 2 * xo) = - 8 * a * xo ^ 3 - 2 * b * xo =
- 2 * [ 4* a * xo^2 + b] * xo = - 2 * [- 4 * a * b / (3*a) + b ] * xo =
= - 2 * [ - 4/3 * b + b ] * xo =
= 2 / 3 * b * x o = yo , wie erhofft ; damit ist der Beweis zu Ende
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 15:04: |
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Hi Nicola,
Lösung der zweiten Aufgabe:
Wir berechnen zuerst das bestimmte Integral
J = int [ a * x ^ n * dx ] ,untere Grenze 0, obere Grenze u >0
Wir erhalten sofort: J = a * u ^ ( n + 1 ) / ( n + 1 )
Dieser Wert soll mit der halben Dreiecksfläche OPQ
übereinstimmen ; hierbei ist O der Nullpunkt ,
P liegt auf der x-Achse mit xP = u , Q hat dieselbe
x -Koordinate wie P und liegt auf der gegebenen Kurve,
also xQ = u , yQ = a * u ^ n
Die Fläche A des Dreiecks beträgt A = ½ * u * a * u ^ n.
Aus der Bedingung J = ½ * A folgt (a und u heben sich weg!):
n = 3 ; somit ist die Bedingung für alle kubischen Funktionen
der Form y = a x ^3 erfüllt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Nicola
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 23:01: |
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Auch beiden danke ich sehr sehr!
Wenn ich noch fragen an euch habe,werde ich mich nochmal melden,aber bei Nr.1 habe ich noch Schwierigkeiten (D-Achse ist die x-Achse).
Nochmals, DANKE SCHÖN! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 07:36: |
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Hi Nicola,
Lösung der 1. Aufgabe.
Ansatz für die Funktionsgleichung der kubischen Funktion.
y = a x^3 + b x^2 + c x + d ;erste und zweite Ableitung
y ' = 3 a x^2 + 2 b x + c
y '' = 6 a x + 2 b
Da die Kurve durch O geht , ist d = 0.
Die x-Koordinate des Wendepunktes ist xW = - b / (3 a).
Wegen xW = 0 muss auch b = 0 gelten.
Die Funktion hat somit nur ungerade x - Potenzen ; die
Funktionsgleichung vereinfacht sich zu
y = a x ^3 + c x
Der Graf (!) ist, wie zu erwarten war , zum Nullpunkt,
der zugleich Wendepunkt der Kurve ist, zentralsymmetrisch.
Für x = x1 = wurzel(3 ) / 3 soll die erste Ableitung y ' null sein
y'(x1) = 0 führt auf die Gleichung
3 * a * 1/3 + c * wurzel(3) / 3 = 0 oder
3 * a + c * wurzel(3) = 0...............................................(1)
Wir benötigen noch die von null verschiedenen Nullstellen der
Funktion. Wir setzen y null und lösen die Gleichung nach x auf:
y = a * x^3 + c* x = x* ( ax^2 + c) ,daraus ausser x = 0 noch
x = u = wurzel ( - c / a )
Nun kommen wir zur Flächenbedingung:
A = int [(a*x^3 + c * x)*dx], untere Grenze 0 , obere Grenze u
( u ist die weiter oben bestimmte positive Nullstelle)
Aus der Bedingung A = ¾ erhalten wir - nach erfolgter
Integration - eine zweite Gleichung zur Bestimmung von a und c:
a * u ^ 4 / 4 + c * u ^2 / 2 = ¾ ..........................................(2)
Setze noch u^2 = c^2 / a^2 und u^4 = c^4 / a^4; es entsteht aus (2)
die Gleichung :
- c^2 = 3 a.........................................................................(2°)
Aus den Gleichungen (1) und (2°) berechnet man
a = - 1 , c = wurzel(3) ,
und wir sind mit Aufgabe 1 fertig.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Nicola
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 19:16: |
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Hallöchen!
Ich bedanke mich sehr für die Mühen,die ihr gemacht habt!
Aber zu Aufgabe Nr.1 ist mir beim durchrechnen etwas nicht klar geworden :
und zwar verstehe ich nicht,wie man in die 1.Ableitung (Wurz.3/3) einsetzt und dafür noch die anderen Nullstellen braucht.
beim Einsetzten von (Wurz.3/3) in die 1.Ableitung
bekomme ich 3*a*1/3+c=0,wobei sich 1/3*3=1 ergibt,somit a+c=0 ist und dann? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 21:08: |
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Hi Nicola,
Ein ganz grosses Kompliment an Dich,
Du hast richtig argumentiert !
Deine Gleichung a + c = 0 ist richtig und soll meine
(falsche) Gleichung (1) ersetzen.
Mit c = - a wird dann auch die obere Grenze u des Integrals
(die positive Nullstelle der kubischen Funktion ) einfach;
es kommt u = 1 heraus .
Mit Gleichung (2) erhalten wir damit a/4 + c/2 = ¾ und mit
c = - a wird daraus schliesslich a = - 3 , c = 3 .
Als Strafe für den Error meinerseits werde ich die Aufgabe 3 )
noch numerisch lösen, wenn Du Bedarf hast.
Bitte um Mitteilung !
Freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath. |
Nicola
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 16:00: |
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Wenn Du noch Lust dazu hast!
Aber ich DANKE dir sehr,daß Du mir bei den Aufgaben geholfen bzw. gelöst hast! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 22:18: |
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Hi Nicola,
Gerne zeige ich Dir eine Lösung der dritten Aufgabe,
und ich hoffe, dass ich dies ohne lapsus calculi besorgen kann.
b) xo ist die negative Nullstelle der Ableitung
y ' = 1 / 3 x ^ 2 - 4 / 3 , also xo = - 2, daraus yo durch
Einsetzen in die Funktionsgleichung:
yo = 16 / 9 ; H(xo/yo ) ist der gesuchte Hochpunkt !
Ermittlung des Schnittpunktes P1(x1/y1) der Parallelen p zur
x-Achse mit der Gleichung y = 16 / 9 .
Die entsprechende Gleichung ergibt sich durch Einsetzen des
y -Wertes als eine Gleichung dritten Grades für den gesuchten
Wert x =x1.
Die Gleichung lautet.
16/9 = 1/9 x^3 - 4/3 x.
Da die Parallele p die Kurve im Punkt H berührt , ist x = - 2
eine Doppellösung der genannten Gleichung und wir könnten
die dritte Lösung leicht durch Ausdividieren des
Gleichungspolynoms finden.
Das ist alles nicht nötig ,da im Aufgabentext die Lösung
angegeben ist und wir bloss durch Einsetzen die Probe aufs
Exempel machen müssen
Tatsächlich bestätigt man leicht , dass x = x1 = - 2 * xo = 4
die Gleichung löst.
c) Die Fläche A zwischen der Parallelen p und der Kurve kann
mit einem einzigen bestimmten Integral berechnet werden;
der Integrand ist die Differenz der y-Werte beider Funktionen,
die untere Grenze ist -2 , die obere 4.
Somit A = int [{ 16 / 9 - ( 1/9 x^3 - 4/3 x } * dx ] in den
genannten Grenzen.
Eine Stammfunktion ist
F(x) = 16/9x - 1/36 x ^ 4 + 2/3 x^ 2, damit kommt:
A = 12
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Bis zum nächsten Mal !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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