| Autor |
Beitrag |
    
Sarah Brügge-Feldhacke (Zapek)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 12:28: | 
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Ich bitte um Erklärung folgender Aufgabe:
Gegeben sind die Punkte M(0|10|25/2), A(0|0|5) und die Ebene 4x1 + 3x3=40.
a) Die Kugel K hat den Mittelpunkt M und geht durch A. Bestimmen sie eine Gleichung der Kugel K. Welche Punkte hat K mit den Koordinatenebenen gemeinsam?
b) b)Die Ebene E schneidet die Kugel K in einem Kreis. Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises.
c) Die Kugel K* hat den Mittelpunkt A und berührt die Ebene E. Bestimmen Sie eine Gleichung der Kugel K* und die Koordinaten des Berührmittelpunktes.
d) T ist die Tangentialebene der Kugel K mit dem Berührpunkt B(x1|4|8) mit x1 > 0.
Zeigen Sie, dass T auch die Kugel K* in einem Punkt B* berührt.
Welche Koordinaten hat der Punkt B*?
e) Für welche Werte von k ist x12+x22+x32-2kx2-3/2 kx3-10x3+k²=0 die Gleichung einer Kugel? Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius der Kugel. Für welche Werte von k ist x2-Achse eine Tangente der Kugel? |
erazor
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 19:52: |
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eine kugel in r3 erfüllt die gleichung
(x-xm)^2+(y-ym)^2+(z-zm)^2=r*r.
jetzt brauche ich nur noch für (y,x,z) die koordinaten von a einzusetzen, um r zu bestimmen.
b. der normalenvektor der ebene hat den betrag
bn=(3*3+4*4)^.5=5
der abstand des punktes a ergibt sich, wenn die ebenengleichung durch den betrag (=5) des vorfaktors von x,y,z dividiert wird aus dem erhaltenen Fehlbetrag:
d=3*5/5-40/5=-5
der radius des schnittkreises und der kugelradius mit dem abstand des punktes a von der ebene bilden ein rechtwinkliges dreieck, so daß
aa^2+rs^2=rk^2 ergibt.
c) der radius der kugel k*, die die geg. ebene berührt, ist gleich dem abstand (wie oben ermittelt) des punktes A von der Ebene.
d) der abstand des berührpunkts zum kugelmittelpunkt m ist gleich dem kugelradius, d.h.
(x-xm)^2+(y-ym)^2+(z-zm)^2=r*r
wobei xm=0, ym=10, zm=12.5 wie bereits gegeben.
zu e. mit x12, x22 etc. weiß ich nichts anzufangen... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Februar, 2001 - 21:48: |
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Hi Sarah ,
Vorbemerkung
Es ist für mich etwas bequemer, für die drei Raumkoordinaten
x1, x2, x3 die Bezeichnungen x , y , z zu verwenden.
Die ganze Aufgabe ist ziemlich umfangreich, gleichwohl
löse ich sie en détail vor, damit Du möglichst viel davon
profitieren kannst.
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Teilaufgabe a)
Der Radius R der Kugel stimmt mit dem Betrag des Vektors
v = MA überein.
Die Koordinaten des Vektors v sind:
xv = 0 , yv = 10 , zv = 25 / 2 - 5 = 15 / 2, also
R ^ 2 = 0^2 + 10 ^ 2 + (15/2) ^ 2 = 625 / 4 , R = 25 / 2
Gleichung der Kugel K :
x ^ 2 + ( y - 10 ) ^ 2 + (z - 25 / 2 ) ^ 2 = 625 / 4.
Man erkennt sofort, dass K die (x,y)- Ebene berührt, weil der
Betrag der z - Koordinate von M mit dem Kugelradius R
übereinstimmt.
Dies zeigt sich auch, wenn wir die Kugel mit der (x,y) - Ebene
schneiden , d. h wenn wir in der Kugelgleichung z = 0 setzen
Wir erhalten als Gleichung der Schnittkurve
x ^ 2 + (y - 10 ) ^ 2 = 0 ; dies ist die Gleichung eines Kreises
mit Radius null, eines sogenannten Nullkreises .
Der Schnittkreis ist auf den Punkt (0/10/0) , den Berührungspunkt
der Kugel mit der (x,y) - Ebene , zusammengeschrumpft.
Schnitt mit der (y,z) - Ebene: setze x = 0 ! Es kommt:
(y -10)^2 + (z-25/2)^2 = 625/4. als Gleichung des Schnittkreises
Dieser Kreis hat denselben Radius R wie die Kugel, es ist somit ein
Grosskreis der Kugel. :Erklärung:
Wegen xM = 0 liegt der Mittelpunkt der Kugel auf der (y,z)-Ebene
und diese schneidet aus der Kugel einen Grosskreis heraus.
Schnitt mit der (z,x) - Ebene: setze y = 0 in der Kugelgleichung
Es entsteht die Kreisgleichung:
x ^ 2 + ( z -25 / 2 ) ^ 2 = 225 / 4 ;
der Radius des Schnittkreises ist 15 / 2.
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Teilaufgabe b)
Zuerst bestimmen wir mit der Formel von Hesse den Abstand d des
Kugelmittelpunktes M von der Schnittebene, indem wir die Gleichung
von E auf die Normalform bringen.
Diese lautet (auf null bringen !)
( 4 x + 3 z - 40 ) / H = 0
H ist der Hessesche Divisor :und wird als Wurzel aus der
Quadratsumme der Koeffizienten von x , y , z gewonnen, also :
H = wurzel ( 4 ^ 2 + 0 ^ 2 +3 ^2 ) = 5, somit entsteht als Normalform:
4/5 x + 3/5 z - 8 = 0
Setzen wir in diese Gleichung für x , y , z die Koordinaten von M ein,
so ergibt die linke Seite der letzten Gleichung den gesuchten Abstand d:
d = 3/5 * 25/2 - 8 = - 1/2 .
Uns interessiert nur der absolute Betrag a des Abstandes d ,
also a = ½.
Mit diesem Abstand a berechnen wir den Radius r des Schnittkreises
mit Pythagoras, es gilt: r ^ 2 = R^2 - a^2 = 625/4 - ¼ = 624 / 4 = 156
Somit r = wurzel(156) = 2*wurzel(39).
Den Mittelpunkt N des Schnittkreises ermitteln wir als Durchstosspunkt
des Lotes l durch M zur Ebene E mit dieser Ebene
N.B. r = {4;0;3} ist ein Richtungsvektor von l, somit lautet eine
Parameterdarstellung dieser Senkrechten l zu E
Parametergleichung für l.
x = 0 + 4 t = 4 t , y = 10 + 0 * t = 10 , z = 25/2 + 3 t;
setzt man diese Werte für x , y , z in die Gleichung für E ein,
so erhalten wir eine Gleichung für den Parameter t:
16 t + 75 /2 + 9 t = 40 , daraus t = 1 / 10 ,einzusetzen in die
Die Koordinaten des Schnittpunktes N sind:
xN = 2/5, yN = 10, zN=64/5.
Wir erhalten nochmals den Abstand a als Länge der Strecke MN
a^2= (xN-xM)^2 +(yN-xM)^2 + (zN-zM)^2 =
(2/5-0)^2 + (10-10)^2+(64/5-25/2)^2 =4/25 + 9/100 = ¼
Damit a = ½ wie oben.
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Teilaufgabe c)
Zuerst ermitteln wir den Radius R* der Kugel K* als Abstand des
Punktes A von E mittels der Hesseschen Normalform von E,
welche wir in Teil b) hergeleitet haben, sie lautet:
4/5 x + 3/5 z - 8 = 0
Setzt man die Koordinaten von A in die HNF ein, so ergibt die linke
Seite der Gleichung den negativen Abstand 3/5 * 5 - 8 = - 5
R* ist natürlich der Betrag dieses Abstandes , also R* = 5.
Die Gleichung der Kugel K* lautet also:
x^2 + y^2 +(z-5)^2 = 25 oder:
x^2 + y^2 + z^2 - 10 z = 0 ;
Wir stellen fest: K* geht durch den Nullpunkt O.
Den Berührungspunktes U von K* mit E
erhält man als Schnittpunkt der Senkrechten m durch A zu E mit
E
Gleichung von n: x = 0 + 4t , y = 0 + 0 t , z = 5 + 3 t
Resultat (mit t = 1) : U ( 4 / 0 / 8 ) .
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Teilaufgabe d)
B(x / 4 / 8 ) muss auf der Kugel K liegen, also erfüllen die
Koordinaten von B die Gleichung von K, diese lautet :
x^2 + y^2 + z^2 -20 y - 25 z - 100 = 0, somit:
x^2 + 16 + 64 -200 + 100 = 0 ;daraus als positive Lösung x = 10 .
Somit: B (10 / 4 / 8 ) ;
Der Vektor MB = {10 ; - 6 ; -4.5) ist ein Normalenvektor der
gesuchten Tangentialebene T mit B als Berührungspunkt.
Eine Koordinatengleichung von T lautet demnach:
10 x - 6 y - 4,5 z = C
Wir bestimmen die Konstante C durch Einetzen der Koordinaten
von B in die linke Seite der letzten Gleichung und erhalten C = 40.
Die Tangentialebene T hat die Gleichung
10 x - 6 y - 4,5 z = 40
oder:
20 x - 12 y - 9 z = 80
Um nun zu zeigen, dass T auch Tangentialebene der Kugel K* ist,
berechnen wir mit Hesse den Abstand d* des Mittelpunktes A von
der Ebene T.
Wenn dann abs ( d * ) = R* = 5 gilt, ist der Nachweis erbracht
Normalform von T:
(20 x - 12 y - 9 z - 80 ) / H* = 0
Mit H * = wurzel(20^2 +12^2 + 81 ) =wurzel(625 ) = 25
Einsetzen der Koordinaten von A in die linke Seite liefert
d * = abs( - 45 - 80 / 25 ) = 5; bravo !
Den Berührungspunkt B* von T finden wir auf die übliche Art
als Fusspunkt der Senkrechten auf T durch A .
Resultat: B* ( 4 / - 2,4 / 3,2 )
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Teilaufgabe e)
Wir führen bei der gegebenen Kugelgleichung
x^2 + y^2 + z^2 - 2 k y - 3/2 k z - 10 z = - k^2
die quadratischen Ergänzungen durch , indem wir links und rechts
je den Term Q = k^2 + [ ¾ * k + 5 ] ^ 2 addieren.
Auf der linken Seite stehen dann lauter Quadrate, nämlich:
x ^ 2 + (y - k) ^ 2 + [z - (¾ * k+ 5) ] ^ 2 = [ ¾ * k + 5 ] ^ 2
Wir können nun die Koordinaten xM,yM,zM des Mittelpunktes M
und den Radius R direkt ablesen :
xM = 0 , yM = k , z M = ¾ *k + 5
R^2 = [ ¾ * k + 5] ^ 2 , also R = abs { ¾ * k + 5 }
Für jede reelle Zahl k gibt es eine Kugel Kk, ausser für k = - 20 /3
Für diesen Wert wird R = 0, und es liegt eine sogenannte Nullkugel
vor.
Die y- Achse berührt alle diese Kugeln Kk, wie folgende Rechnung
zeigt:
Gleichung der y-Achse:
x = 0, y = t , z = 0 (Parameter t)
Schnitt mit Kk durch Einsetzen:
t ^ 2 - 2 k t + k ^ 2 = 0 oder: ( t - k ) ^ 2 = 0
Diese quadratische Gleichung liefert für jeden
Wert von k die Doppellösung t = k und dies bedeutet :
Berührung !
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Die Lösung ist recht umfangreich geraten (35,5KB)
und sollte ihren Zweck nicht nur dem Umfang nach
erfüllen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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